Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 61535 / 34780
↖ ↑ ↗
← N 64.211157°
W 10.989075°		 ← 132.88 m → N 64.211157°
W 10.986328°		 →
↑
132.84 m
↓
↑
132.84 m
↓
N 64.209963°
W 10.989075°		 ← 132.88 m →
17 651 m²		 N 64.209963°
W 10.986328°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61535 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 34780 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.469478607177734 y=0.265354156494141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.469478607177734 × 217)
    floor (0.469478607177734 × 131072)
    floor (61535.5)     		tx = 61535
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.265354156494141 × 217)
    floor (0.265354156494141 × 131072)
    floor (34780.5)     		ty = 34780
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61535 / 34780 ti = "17/61535/34780"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61535/34780.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61535 ÷ 217
    61535 ÷ 131072     		x = 0.469474792480469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 34780 ÷ 217
    34780 ÷ 131072     		y = 0.265350341796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.469474792480469 × 2 - 1) × π
    -0.0610504150390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.19179554
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.265350341796875 × 2 - 1) × π
    0.46929931640625 × 3.1415926535     		Φ = 1.47434728471445
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.19179554} λ = -0.19179554}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.47434728471445))-π/2
    2×atan(4.36818366197653)-π/2
    2×1.34574621927445-π/2
    2.6914924385489-1.57079632675     		φ = 1.12069611
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.19179554} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -10.989075°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.12069611 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 64.211157°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61535 KachelY 34780 -0.19179554 1.12069611 -10.989075 64.211157
    Oben rechts KachelX + 1 61536 KachelY 34780 -0.19174760 1.12069611 -10.986328 64.211157
    Unten links KachelX 61535 KachelY + 1 34781 -0.19179554 1.12067526 -10.989075 64.209963
    Unten rechts KachelX + 1 61536 KachelY + 1 34781 -0.19174760 1.12067526 -10.986328 64.209963
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.12069611-1.12067526) × R
    2.08499999998502e-05 × 6371000     		dl = 132.835349999045m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.12069611-1.12067526) × R
    2.08499999998502e-05 × 6371000     		dr = 132.835349999045m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.19179554--0.19174760) × cos(1.12069611) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.435055771849383 × 6371000     		do = 132.877231058359m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.19179554--0.19174760) × cos(1.12067526) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.435074545167938 × 6371000     		du = 132.882964913071m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.12069611)-sin(1.12067526))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.435055771849383-0.435074545167938)×R²
    abs(-0.19174760--0.19179554)×1.87733185547656e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.87733185547656e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.87733185547656e-05×40589641000000     		ar = 17651.1743245241m²