Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 61533 / 33857
↖ ↑ ↗
← N 65.292320°
W 10.994568°		 ← 127.66 m → N 65.292320°
W 10.991821°		 →
↑
127.67 m
↓
↑
127.67 m
↓
N 65.291172°
W 10.994568°		 ← 127.67 m →
16 300 m²		 N 65.291172°
W 10.991821°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61533 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 33857 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.469463348388672 y=0.258312225341797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.469463348388672 × 217)
    floor (0.469463348388672 × 131072)
    floor (61533.5)     		tx = 61533
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.258312225341797 × 217)
    floor (0.258312225341797 × 131072)
    floor (33857.5)     		ty = 33857
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61533 / 33857 ti = "17/61533/33857"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61533/33857.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61533 ÷ 217
    61533 ÷ 131072     		x = 0.469459533691406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 33857 ÷ 217
    33857 ÷ 131072     		y = 0.258308410644531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.469459533691406 × 2 - 1) × π
    -0.0610809326171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.19189141
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.258308410644531 × 2 - 1) × π
    0.483383178710938 × 3.1415926535     		Φ = 1.51859304306376
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.19189141} λ = -0.19189141}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.51859304306376))-π/2
    2×atan(4.56579679449167)-π/2
    2×1.35518114164856-π/2
    2.71036228329712-1.57079632675     		φ = 1.13956596
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.19189141} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -10.994568°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.13956596 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 65.292320°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61533 KachelY 33857 -0.19189141 1.13956596 -10.994568 65.292320
    Oben rechts KachelX + 1 61534 KachelY 33857 -0.19184347 1.13956596 -10.991821 65.292320
    Unten links KachelX 61533 KachelY + 1 33858 -0.19189141 1.13954592 -10.994568 65.291172
    Unten rechts KachelX + 1 61534 KachelY + 1 33858 -0.19184347 1.13954592 -10.991821 65.291172
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.13956596-1.13954592) × R
    2.004000000011e-05 × 6371000     		dl = 127.674840000701m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.13956596-1.13954592) × R
    2.004000000011e-05 × 6371000     		dr = 127.674840000701m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.19189141--0.19184347) × cos(1.13956596) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.417988847893165 × 6371000     		do = 127.664553179581m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.19189141--0.19184347) × cos(1.13954592) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.418007053190474 × 6371000     		du = 127.670113545984m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.13956596)-sin(1.13954592))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.417988847893165-0.418007053190474)×R²
    abs(-0.19184347--0.19189141)×1.82052973090041e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.82052973090041e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.82052973090041e-05×40589641000000     		ar = 16299.9063611377m²