Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 61531 / 40626
↖ ↑ ↗
← N 56.289108°
W 11.000061°		 ← 169.48 m → N 56.289108°
W 10.997315°		 →
↑
169.53 m
↓
↑
169.53 m
↓
N 56.287583°
W 11.000061°		 ← 169.48 m →
28 732 m²		 N 56.287583°
W 10.997315°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61531 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40626 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.469448089599609 y=0.309955596923828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.469448089599609 × 217)
    floor (0.469448089599609 × 131072)
    floor (61531.5)     		tx = 61531
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.309955596923828 × 217)
    floor (0.309955596923828 × 131072)
    floor (40626.5)     		ty = 40626
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61531 / 40626 ti = "17/61531/40626"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61531/40626.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61531 ÷ 217
    61531 ÷ 131072     		x = 0.469444274902344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40626 ÷ 217
    40626 ÷ 131072     		y = 0.309951782226562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.469444274902344 × 2 - 1) × π
    -0.0611114501953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.19198728
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.309951782226562 × 2 - 1) × π
    0.380096435546875 × 3.1415926535     		Φ = 1.1941081695356
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.19198728} λ = -0.19198728}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.1941081695356))-π/2
    2×atan(3.30061287041202)-π/2
    2×1.27661329794786-π/2
    2.55322659589573-1.57079632675     		φ = 0.98243027
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.19198728} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -11.000061°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.98243027 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.289108°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61531 KachelY 40626 -0.19198728 0.98243027 -11.000061 56.289108
    Oben rechts KachelX + 1 61532 KachelY 40626 -0.19193935 0.98243027 -10.997315 56.289108
    Unten links KachelX 61531 KachelY + 1 40627 -0.19198728 0.98240366 -11.000061 56.287583
    Unten rechts KachelX + 1 61532 KachelY + 1 40627 -0.19193935 0.98240366 -10.997315 56.287583
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.98243027-0.98240366) × R
    2.6610000000038e-05 × 6371000     		dl = 169.532310000242m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.98243027-0.98240366) × R
    2.6610000000038e-05 × 6371000     		dr = 169.532310000242m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.19198728--0.19193935) × cos(0.98243027) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.555002570962523 × 6371000     		do = 169.476711724341m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.19198728--0.19193935) × cos(0.98240366) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.555024706258117 × 6371000     		du = 169.483471003138m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.98243027)-sin(0.98240366))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.555002570962523-0.555024706258117)×R²
    abs(-0.19193935--0.19198728)×2.21352955931398e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.21352955931398e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.21352955931398e-05×40589641000000     		ar = 28732.3513895972m²