Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 6153 / 10123
↖ ↑ ↗
← S 39.010647°
W 44.802246°		 ← 1 898.50 m → S 39.010647°
W 44.780273°		 →
↑
1 898.24 m
↓
↑
1 898.24 m
↓
S 39.027719°
W 44.802246°		 ← 1 898.04 m →
3 603 369 m²		 S 39.027719°
W 44.780273°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6153 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10123 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.375579833984375 y=0.617889404296875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.375579833984375 × 214)
    floor (0.375579833984375 × 16384)
    floor (6153.5)     		tx = 6153
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.617889404296875 × 214)
    floor (0.617889404296875 × 16384)
    floor (10123.5)     		ty = 10123
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 6153 / 10123 ti = "14/6153/10123"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/6153/10123.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6153 ÷ 214
    6153 ÷ 16384     		x = 0.37554931640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10123 ÷ 214
    10123 ÷ 16384     		y = 0.61785888671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.37554931640625 × 2 - 1) × π
    -0.2489013671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.78194671
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.61785888671875 × 2 - 1) × π
    -0.2357177734375 × 3.1415926535     		Φ = -0.740529225330627
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.78194671} λ = -0.78194671}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.740529225330627))-π/2
    2×atan(0.476861481554462)-π/2
    2×0.444966042213974-π/2
    0.889932084427948-1.57079632675     		φ = -0.68086424
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.78194671} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -44.802246°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.68086424 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -39.010647°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6153 KachelY 10123 -0.78194671 -0.68086424 -44.802246 -39.010647
    Oben rechts KachelX + 1 6154 KachelY 10123 -0.78156321 -0.68086424 -44.780273 -39.010647
    Unten links KachelX 6153 KachelY + 1 10124 -0.78194671 -0.68116219 -44.802246 -39.027719
    Unten rechts KachelX + 1 6154 KachelY + 1 10124 -0.78156321 -0.68116219 -44.780273 -39.027719
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.68086424--0.68116219) × R
    0.000297949999999991 × 6371000     		dl = 1898.23944999994m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.68086424--0.68116219) × R
    0.000297949999999991 × 6371000     		dr = 1898.23944999994m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.78194671--0.78156321) × cos(-0.68086424) × R
    0.000383500000000092 × 0.777029000346795 × 6371000     		do = 1898.49825042427m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.78194671--0.78156321) × cos(-0.68116219) × R
    0.000383500000000092 × 0.776841416822776 × 6371000     		du = 1898.03993163308m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.68086424)-sin(-0.68116219))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.777029000346795-0.776841416822776)×R²
    abs(-0.78156321--0.78194671)×0.000187583524019264×R²
    0.000383500000000092×0.000187583524019264×6371000²
    0.000383500000000092×0.000187583524019264×40589641000000     		ar = 3603369.30196358m²