Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 61529 / 33861
↖ ↑ ↗
← N 65.287727°
W 11.005554°		 ← 127.69 m → N 65.287727°
W 11.002808°		 →
↑
127.67 m
↓
↑
127.67 m
↓
N 65.286579°
W 11.005554°		 ← 127.69 m →
16 303 m²		 N 65.286579°
W 11.002808°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61529 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 33861 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.469432830810547 y=0.258342742919922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.469432830810547 × 217)
    floor (0.469432830810547 × 131072)
    floor (61529.5)     		tx = 61529
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.258342742919922 × 217)
    floor (0.258342742919922 × 131072)
    floor (33861.5)     		ty = 33861
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61529 / 33861 ti = "17/61529/33861"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61529/33861.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61529 ÷ 217
    61529 ÷ 131072     		x = 0.469429016113281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 33861 ÷ 217
    33861 ÷ 131072     		y = 0.258338928222656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.469429016113281 × 2 - 1) × π
    -0.0611419677734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.19208316
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.258338928222656 × 2 - 1) × π
    0.483322143554688 × 3.1415926535     		Φ = 1.51840129546528
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.19208316} λ = -0.19208316}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.51840129546528))-π/2
    2×atan(4.56492139785146)-π/2
    2×1.35514106397888-π/2
    2.71028212795775-1.57079632675     		φ = 1.13948580
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.19208316} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -11.005554°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.13948580 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 65.287727°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61529 KachelY 33861 -0.19208316 1.13948580 -11.005554 65.287727
    Oben rechts KachelX + 1 61530 KachelY 33861 -0.19203522 1.13948580 -11.002808 65.287727
    Unten links KachelX 61529 KachelY + 1 33862 -0.19208316 1.13946576 -11.005554 65.286579
    Unten rechts KachelX + 1 61530 KachelY + 1 33862 -0.19203522 1.13946576 -11.002808 65.286579
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.13948580-1.13946576) × R
    2.004000000011e-05 × 6371000     		dl = 127.674840000701m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.13948580-1.13946576) × R
    2.004000000011e-05 × 6371000     		dr = 127.674840000701m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.19208316--0.19203522) × cos(1.13948580) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.418061668075137 × 6371000     		do = 127.686794337473m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.19208316--0.19203522) × cos(1.13946576) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.418079872700913 × 6371000     		du = 127.692354498772m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.13948580)-sin(1.13946576))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.418061668075137-0.418079872700913)×R²
    abs(-0.19203522--0.19208316)×1.82046257758972e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.82046257758972e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.82046257758972e-05×40589641000000     		ar = 16302.7459842323m²