Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 61528 / 34200
↖ ↑ ↗
← N 64.895589°
W 11.008301°		 ← 129.56 m → N 64.895589°
W 11.005554°		 →
↑
129.52 m
↓
↑
129.52 m
↓
N 64.894424°
W 11.008301°		 ← 129.56 m →
16 781 m²		 N 64.894424°
W 11.005554°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61528 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 34200 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.469425201416016 y=0.260929107666016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.469425201416016 × 217)
    floor (0.469425201416016 × 131072)
    floor (61528.5)     		tx = 61528
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.260929107666016 × 217)
    floor (0.260929107666016 × 131072)
    floor (34200.5)     		ty = 34200
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61528 / 34200 ti = "17/61528/34200"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61528/34200.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61528 ÷ 217
    61528 ÷ 131072     		x = 0.46942138671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 34200 ÷ 217
    34200 ÷ 131072     		y = 0.26092529296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.46942138671875 × 2 - 1) × π
    -0.0611572265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.19213109
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.26092529296875 × 2 - 1) × π
    0.4781494140625 × 3.1415926535     		Φ = 1.50215068649408
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.19213109} λ = -0.19213109}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.50215068649408))-π/2
    2×atan(4.49133815084659)-π/2
    2×1.35171901545874-π/2
    2.70343803091748-1.57079632675     		φ = 1.13264170
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.19213109} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -11.008301°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.13264170 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 64.895589°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61528 KachelY 34200 -0.19213109 1.13264170 -11.008301 64.895589
    Oben rechts KachelX + 1 61529 KachelY 34200 -0.19208316 1.13264170 -11.005554 64.895589
    Unten links KachelX 61528 KachelY + 1 34201 -0.19213109 1.13262137 -11.008301 64.894424
    Unten rechts KachelX + 1 61529 KachelY + 1 34201 -0.19208316 1.13262137 -11.005554 64.894424
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.13264170-1.13262137) × R
    2.03299999999018e-05 × 6371000     		dl = 129.522429999374m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.13264170-1.13262137) × R
    2.03299999999018e-05 × 6371000     		dr = 129.522429999374m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.19213109--0.19208316) × cos(1.13264170) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.424269136289629 × 6371000     		do = 129.555684723752m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.19213109--0.19208316) × cos(1.13262137) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.424287545751667 × 6371000     		du = 129.561306274451m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.13264170)-sin(1.13262137))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.424269136289629-0.424287545751667)×R²
    abs(-0.19208316--0.19213109)×1.8409462038127e-05×R²
    4.79300000000016e-05×1.8409462038127e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×1.8409462038127e-05×40589641000000     		ar = 16780.7311646838m²