Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 61527 / 34675
↖ ↑ ↗
← N 64.336339°
W 11.011047°		 ← 132.28 m → N 64.336339°
W 11.008301°		 →
↑
132.26 m
↓
↑
132.26 m
↓
N 64.335150°
W 11.011047°		 ← 132.28 m →
17 495 m²		 N 64.335150°
W 11.008301°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61527 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 34675 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.469417572021484 y=0.264553070068359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.469417572021484 × 217)
    floor (0.469417572021484 × 131072)
    floor (61527.5)     		tx = 61527
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.264553070068359 × 217)
    floor (0.264553070068359 × 131072)
    floor (34675.5)     		ty = 34675
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61527 / 34675 ti = "17/61527/34675"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61527/34675.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61527 ÷ 217
    61527 ÷ 131072     		x = 0.469413757324219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 34675 ÷ 217
    34675 ÷ 131072     		y = 0.264549255371094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.469413757324219 × 2 - 1) × π
    -0.0611724853515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.19217903
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.264549255371094 × 2 - 1) × π
    0.470901489257812 × 3.1415926535     		Φ = 1.47938065917455
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.19217903} λ = -0.19217903}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.47938065917455))-π/2
    2×atan(4.39022579267045)-π/2
    2×1.34683864037059-π/2
    2.69367728074118-1.57079632675     		φ = 1.12288095
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.19217903} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -11.011047°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.12288095 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 64.336339°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61527 KachelY 34675 -0.19217903 1.12288095 -11.011047 64.336339
    Oben rechts KachelX + 1 61528 KachelY 34675 -0.19213109 1.12288095 -11.008301 64.336339
    Unten links KachelX 61527 KachelY + 1 34676 -0.19217903 1.12286019 -11.011047 64.335150
    Unten rechts KachelX + 1 61528 KachelY + 1 34676 -0.19213109 1.12286019 -11.008301 64.335150
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.12288095-1.12286019) × R
    2.07600000001751e-05 × 6371000     		dl = 132.261960001115m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.12288095-1.12286019) × R
    2.07600000001751e-05 × 6371000     		dr = 132.261960001115m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.19217903--0.19213109) × cos(1.12288095) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.433087497441736 × 6371000     		do = 132.27606939088m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.19217903--0.19213109) × cos(1.12286019) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.43310620941353 × 6371000     		du = 132.281784508712m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.12288095)-sin(1.12286019))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.433087497441736-0.43310620941353)×R²
    abs(-0.19213109--0.19217903)×1.87119717940387e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.87119717940387e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.87119717940387e-05×40589641000000     		ar = 17495.4701458107m²