Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 61526 / 34676
↖ ↑ ↗
← N 64.335150°
W 11.013794°		 ← 132.28 m → N 64.335150°
W 11.011047°		 →
↑
132.26 m
↓
↑
132.26 m
↓
N 64.333960°
W 11.013794°		 ← 132.29 m →
17 496 m²		 N 64.333960°
W 11.011047°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61526 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 34676 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.469409942626953 y=0.264560699462891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.469409942626953 × 217)
    floor (0.469409942626953 × 131072)
    floor (61526.5)     		tx = 61526
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.264560699462891 × 217)
    floor (0.264560699462891 × 131072)
    floor (34676.5)     		ty = 34676
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61526 / 34676 ti = "17/61526/34676"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61526/34676.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61526 ÷ 217
    61526 ÷ 131072     		x = 0.469406127929688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 34676 ÷ 217
    34676 ÷ 131072     		y = 0.264556884765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.469406127929688 × 2 - 1) × π
    -0.061187744140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.19222697
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.264556884765625 × 2 - 1) × π
    0.47088623046875 × 3.1415926535     		Φ = 1.47933272227493
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.19222697} λ = -0.19222697}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.47933272227493))-π/2
    2×atan(4.39001534390149)-π/2
    2×1.34682825971047-π/2
    2.69365651942093-1.57079632675     		φ = 1.12286019
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.19222697} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -11.013794°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.12286019 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 64.335150°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61526 KachelY 34676 -0.19222697 1.12286019 -11.013794 64.335150
    Oben rechts KachelX + 1 61527 KachelY 34676 -0.19217903 1.12286019 -11.011047 64.335150
    Unten links KachelX 61526 KachelY + 1 34677 -0.19222697 1.12283943 -11.013794 64.333960
    Unten rechts KachelX + 1 61527 KachelY + 1 34677 -0.19217903 1.12283943 -11.011047 64.333960
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.12286019-1.12283943) × R
    2.0759999999953e-05 × 6371000     		dl = 132.261959999701m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.12286019-1.12283943) × R
    2.0759999999953e-05 × 6371000     		dr = 132.261959999701m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.19222697--0.19217903) × cos(1.12286019) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.43310620941353 × 6371000     		do = 132.281784508712m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.19222697--0.19217903) × cos(1.12283943) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.433124921198665 × 6371000     		du = 132.287499569534m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.12286019)-sin(1.12283943))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.43310620941353-0.433124921198665)×R²
    abs(-0.19217903--0.19222697)×1.87117851347396e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.87117851347396e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.87117851347396e-05×40589641000000     		ar = 17496.2260347299m²