Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 61525 / 33877
↖ ↑ ↗
← N 65.269349°
W 11.016540°		 ← 127.75 m → N 65.269349°
W 11.013794°		 →
↑
127.74 m
↓
↑
127.74 m
↓
N 65.268200°
W 11.016540°		 ← 127.75 m →
16 319 m²		 N 65.268200°
W 11.013794°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61525 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 33877 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.469402313232422 y=0.258464813232422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.469402313232422 × 217)
    floor (0.469402313232422 × 131072)
    floor (61525.5)     		tx = 61525
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.258464813232422 × 217)
    floor (0.258464813232422 × 131072)
    floor (33877.5)     		ty = 33877
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61525 / 33877 ti = "17/61525/33877"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61525/33877.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61525 ÷ 217
    61525 ÷ 131072     		x = 0.469398498535156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 33877 ÷ 217
    33877 ÷ 131072     		y = 0.258460998535156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.469398498535156 × 2 - 1) × π
    -0.0612030029296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.19227490
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.258460998535156 × 2 - 1) × π
    0.483078002929688 × 3.1415926535     		Φ = 1.51763430507136
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.19227490} λ = -0.19227490}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.51763430507136))-π/2
    2×atan(4.56142148935998)-π/2
    2×1.35498068347435-π/2
    2.7099613669487-1.57079632675     		φ = 1.13916504
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.19227490} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -11.016540°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.13916504 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 65.269349°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61525 KachelY 33877 -0.19227490 1.13916504 -11.016540 65.269349
    Oben rechts KachelX + 1 61526 KachelY 33877 -0.19222697 1.13916504 -11.013794 65.269349
    Unten links KachelX 61525 KachelY + 1 33878 -0.19227490 1.13914499 -11.016540 65.268200
    Unten rechts KachelX + 1 61526 KachelY + 1 33878 -0.19222697 1.13914499 -11.013794 65.268200
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.13916504-1.13914499) × R
    2.00500000000492e-05 × 6371000     		dl = 127.738550000313m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.13916504-1.13914499) × R
    2.00500000000492e-05 × 6371000     		dr = 127.738550000313m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.19227490--0.19222697) × cos(1.13916504) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.418353030929414 × 6371000     		do = 127.749130781263m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.19227490--0.19222697) × cos(1.13914499) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.418371241949643 × 6371000     		du = 127.754691735368m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.13916504)-sin(1.13914499))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.418353030929414-0.418371241949643)×R²
    abs(-0.19222697--0.19227490)×1.82110202289754e-05×R²
    4.79300000000016e-05×1.82110202289754e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×1.82110202289754e-05×40589641000000     		ar = 16318.8439044757m²