Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 61524 / 33876
↖ ↑ ↗
← N 65.270498°
W 11.019287°		 ← 127.77 m → N 65.270498°
W 11.016540°		 →
↑
127.74 m
↓
↑
127.74 m
↓
N 65.269349°
W 11.019287°		 ← 127.78 m →
16 322 m²		 N 65.269349°
W 11.016540°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61524 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 33876 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.469394683837891 y=0.258457183837891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.469394683837891 × 217)
    floor (0.469394683837891 × 131072)
    floor (61524.5)     		tx = 61524
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.258457183837891 × 217)
    floor (0.258457183837891 × 131072)
    floor (33876.5)     		ty = 33876
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61524 / 33876 ti = "17/61524/33876"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61524/33876.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61524 ÷ 217
    61524 ÷ 131072     		x = 0.469390869140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 33876 ÷ 217
    33876 ÷ 131072     		y = 0.258453369140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.469390869140625 × 2 - 1) × π
    -0.06121826171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.19232284
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.258453369140625 × 2 - 1) × π
    0.48309326171875 × 3.1415926535     		Φ = 1.51768224197098
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.19232284} λ = -0.19232284}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.51768224197098))-π/2
    2×atan(4.56164015500508)-π/2
    2×1.35499071052968-π/2
    2.70998142105936-1.57079632675     		φ = 1.13918509
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.19232284} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -11.019287°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.13918509 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 65.270498°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61524 KachelY 33876 -0.19232284 1.13918509 -11.019287 65.270498
    Oben rechts KachelX + 1 61525 KachelY 33876 -0.19227490 1.13918509 -11.016540 65.270498
    Unten links KachelX 61524 KachelY + 1 33877 -0.19232284 1.13916504 -11.019287 65.269349
    Unten rechts KachelX + 1 61525 KachelY + 1 33877 -0.19227490 1.13916504 -11.016540 65.269349
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.13918509-1.13916504) × R
    2.00500000000492e-05 × 6371000     		dl = 127.738550000313m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.13918509-1.13916504) × R
    2.00500000000492e-05 × 6371000     		dr = 127.738550000313m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.19232284--0.19227490) × cos(1.13918509) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.418334819741006 × 6371000     		do = 127.770221887154m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.19232284--0.19227490) × cos(1.13916504) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.418353030929414 × 6371000     		du = 127.775784052849m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.13918509)-sin(1.13916504))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.418334819741006-0.418353030929414)×R²
    abs(-0.19227490--0.19232284)×1.82111884078906e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.82111884078906e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.82111884078906e-05×40589641000000     		ar = 16321.5381290263m²