Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 61521 / 34673
↖ ↑ ↗
← N 64.338718°
W 11.027527°		 ← 132.24 m → N 64.338718°
W 11.024781°		 →
↑
132.26 m
↓
↑
132.26 m
↓
N 64.337529°
W 11.027527°		 ← 132.24 m →
17 490 m²		 N 64.337529°
W 11.024781°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61521 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 34673 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.469371795654297 y=0.264537811279297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.469371795654297 × 217)
    floor (0.469371795654297 × 131072)
    floor (61521.5)     		tx = 61521
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.264537811279297 × 217)
    floor (0.264537811279297 × 131072)
    floor (34673.5)     		ty = 34673
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61521 / 34673 ti = "17/61521/34673"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61521/34673.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61521 ÷ 217
    61521 ÷ 131072     		x = 0.469367980957031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 34673 ÷ 217
    34673 ÷ 131072     		y = 0.264533996582031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.469367980957031 × 2 - 1) × π
    -0.0612640380859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.19246665
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.264533996582031 × 2 - 1) × π
    0.470932006835938 × 3.1415926535     		Φ = 1.47947653297379
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.19246665} λ = -0.19246665}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.47947653297379))-π/2
    2×atan(4.39064672047437)-π/2
    2×1.34685940034529-π/2
    2.69371880069059-1.57079632675     		φ = 1.12292247
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.19246665} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -11.027527°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.12292247 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 64.338718°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61521 KachelY 34673 -0.19246665 1.12292247 -11.027527 64.338718
    Oben rechts KachelX + 1 61522 KachelY 34673 -0.19241872 1.12292247 -11.024781 64.338718
    Unten links KachelX 61521 KachelY + 1 34674 -0.19246665 1.12290171 -11.027527 64.337529
    Unten rechts KachelX + 1 61522 KachelY + 1 34674 -0.19241872 1.12290171 -11.024781 64.337529
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.12292247-1.12290171) × R
    2.0759999999953e-05 × 6371000     		dl = 132.261959999701m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.12292247-1.12290171) × R
    2.0759999999953e-05 × 6371000     		dr = 132.261959999701m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.19246665--0.19241872) × cos(1.12292247) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.433050072938203 × 6371000     		do = 132.237049364062m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.19246665--0.19241872) × cos(1.12290171) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.433068785283291 × 6371000     		du = 132.242763403744m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.12292247)-sin(1.12290171))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.433050072938203-0.433068785283291)×R²
    abs(-0.19241872--0.19246665)×1.8712345087768e-05×R²
    4.79300000000016e-05×1.8712345087768e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×1.8712345087768e-05×40589641000000     		ar = 17490.3092092151m²