Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 61520 / 34736
↖ ↑ ↗
← N 64.263684°
W 11.030274°		 ← 132.63 m → N 64.263684°
W 11.027527°		 →
↑
132.64 m
↓
↑
132.64 m
↓
N 64.262491°
W 11.030274°		 ← 132.63 m →
17 592 m²		 N 64.262491°
W 11.027527°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61520 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 34736 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.469364166259766 y=0.265018463134766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.469364166259766 × 217)
    floor (0.469364166259766 × 131072)
    floor (61520.5)     		tx = 61520
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.265018463134766 × 217)
    floor (0.265018463134766 × 131072)
    floor (34736.5)     		ty = 34736
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61520 / 34736 ti = "17/61520/34736"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61520/34736.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61520 ÷ 217
    61520 ÷ 131072     		x = 0.4693603515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 34736 ÷ 217
    34736 ÷ 131072     		y = 0.2650146484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4693603515625 × 2 - 1) × π
    -0.061279296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.19251459
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2650146484375 × 2 - 1) × π
    0.469970703125 × 3.1415926535     		Φ = 1.47645650829773
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.19251459} λ = -0.19251459}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.47645650829773))-π/2
    2×atan(4.37740686144804)-π/2
    2×1.34620459875151-π/2
    2.69240919750301-1.57079632675     		φ = 1.12161287
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.19251459} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -11.030274°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.12161287 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 64.263684°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61520 KachelY 34736 -0.19251459 1.12161287 -11.030274 64.263684
    Oben rechts KachelX + 1 61521 KachelY 34736 -0.19246665 1.12161287 -11.027527 64.263684
    Unten links KachelX 61520 KachelY + 1 34737 -0.19251459 1.12159205 -11.030274 64.262491
    Unten rechts KachelX + 1 61521 KachelY + 1 34737 -0.19246665 1.12159205 -11.027527 64.262491
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.12161287-1.12159205) × R
    2.08200000000325e-05 × 6371000     		dl = 132.644220000207m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.12161287-1.12159205) × R
    2.08200000000325e-05 × 6371000     		dr = 132.644220000207m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.19251459--0.19246665) × cos(1.12161287) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.434230135224891 × 6371000     		do = 132.625060381429m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.19251459--0.19246665) × cos(1.12159205) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.434248889827798 × 6371000     		du = 132.6307885199m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.12161287)-sin(1.12159205))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.434230135224891-0.434248889827798)×R²
    abs(-0.19246665--0.19251459)×1.87546029065677e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.87546029065677e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.87546029065677e-05×40589641000000     		ar = 17592.3275897799m²