Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 61519 / 34695
↖ ↑ ↗
← N 64.312539°
W 11.033020°		 ← 132.39 m → N 64.312539°
W 11.030274°		 →
↑
132.39 m
↓
↑
132.39 m
↓
N 64.311349°
W 11.033020°		 ← 132.40 m →
17 527 m²		 N 64.311349°
W 11.030274°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61519 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 34695 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.469356536865234 y=0.264705657958984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.469356536865234 × 217)
    floor (0.469356536865234 × 131072)
    floor (61519.5)     		tx = 61519
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.264705657958984 × 217)
    floor (0.264705657958984 × 131072)
    floor (34695.5)     		ty = 34695
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61519 / 34695 ti = "17/61519/34695"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61519/34695.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61519 ÷ 217
    61519 ÷ 131072     		x = 0.469352722167969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 34695 ÷ 217
    34695 ÷ 131072     		y = 0.264701843261719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.469352722167969 × 2 - 1) × π
    -0.0612945556640625 × 3.1415926535     		Λ = -0.19256253
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.264701843261719 × 2 - 1) × π
    0.470596313476562 × 3.1415926535     		Φ = 1.47842192118215
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.19256253} λ = -0.19256253}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.47842192118215))-π/2
    2×atan(4.3860187334638)-π/2
    2×1.3466309419299-π/2
    2.6932618838598-1.57079632675     		φ = 1.12246556
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.19256253} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -11.033020°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.12246556 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 64.312539°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61519 KachelY 34695 -0.19256253 1.12246556 -11.033020 64.312539
    Oben rechts KachelX + 1 61520 KachelY 34695 -0.19251459 1.12246556 -11.030274 64.312539
    Unten links KachelX 61519 KachelY + 1 34696 -0.19256253 1.12244478 -11.033020 64.311349
    Unten rechts KachelX + 1 61520 KachelY + 1 34696 -0.19251459 1.12244478 -11.030274 64.311349
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.12246556-1.12244478) × R
    2.07800000000535e-05 × 6371000     		dl = 132.389380000341m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.12246556-1.12244478) × R
    2.07800000000535e-05 × 6371000     		dr = 132.389380000341m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.19256253--0.19251459) × cos(1.12246556) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.433461872625866 × 6371000     		do = 132.390413208531m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.19256253--0.19251459) × cos(1.12244478) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.433480598884494 × 6371000     		du = 132.39613268993m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.12246556)-sin(1.12244478))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.433461872625866-0.433480598884494)×R²
    abs(-0.19251459--0.19256253)×1.87262586285319e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.87262586285319e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.87262586285319e-05×40589641000000     		ar = 17527.4633226975m²