Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 61518 / 34738
↖ ↑ ↗
← N 64.261298°
W 11.035766°		 ← 132.61 m → N 64.261298°
W 11.033020°		 →
↑
132.64 m
↓
↑
132.64 m
↓
N 64.260106°
W 11.035766°		 ← 132.61 m →
17 590 m²		 N 64.260106°
W 11.033020°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61518 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 34738 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.469348907470703 y=0.265033721923828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.469348907470703 × 217)
    floor (0.469348907470703 × 131072)
    floor (61518.5)     		tx = 61518
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.265033721923828 × 217)
    floor (0.265033721923828 × 131072)
    floor (34738.5)     		ty = 34738
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61518 / 34738 ti = "17/61518/34738"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61518/34738.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61518 ÷ 217
    61518 ÷ 131072     		x = 0.469345092773438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 34738 ÷ 217
    34738 ÷ 131072     		y = 0.265029907226562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.469345092773438 × 2 - 1) × π
    -0.061309814453125 × 3.1415926535     		Λ = -0.19261046
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.265029907226562 × 2 - 1) × π
    0.469940185546875 × 3.1415926535     		Φ = 1.47636063449849
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.19261046} λ = -0.19261046}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.47636063449849))-π/2
    2×atan(4.37698720293886)-π/2
    2×1.34618378220626-π/2
    2.69236756441252-1.57079632675     		φ = 1.12157124
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.19261046} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -11.035766°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.12157124 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 64.261298°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61518 KachelY 34738 -0.19261046 1.12157124 -11.035766 64.261298
    Oben rechts KachelX + 1 61519 KachelY 34738 -0.19256253 1.12157124 -11.033020 64.261298
    Unten links KachelX 61518 KachelY + 1 34739 -0.19261046 1.12155042 -11.035766 64.260106
    Unten rechts KachelX + 1 61519 KachelY + 1 34739 -0.19256253 1.12155042 -11.033020 64.260106
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.12157124-1.12155042) × R
    2.08200000000325e-05 × 6371000     		dl = 132.644220000207m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.12157124-1.12155042) × R
    2.08200000000325e-05 × 6371000     		dr = 132.644220000207m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.19261046--0.19256253) × cos(1.12157124) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.43426763523463 × 6371000     		do = 132.608846658551m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.19261046--0.19256253) × cos(1.12155042) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.434286389461149 × 6371000     		du = 132.614573487232m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.12157124)-sin(1.12155042))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.43426763523463-0.434286389461149)×R²
    abs(-0.19256253--0.19261046)×1.875422651898e-05×R²
    4.79300000000016e-05×1.875422651898e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×1.875422651898e-05×40589641000000     		ar = 17590.1768459951m²