Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 61516 / 40516
↖ ↑ ↗
← N 56.456420°
W 11.041260°		 ← 168.77 m → N 56.456420°
W 11.038513°		 →
↑
168.77 m
↓
↑
168.77 m
↓
N 56.454903°
W 11.041260°		 ← 168.78 m →
28 483 m²		 N 56.454903°
W 11.038513°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61516 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40516 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.469333648681641 y=0.309116363525391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.469333648681641 × 217)
    floor (0.469333648681641 × 131072)
    floor (61516.5)     		tx = 61516
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.309116363525391 × 217)
    floor (0.309116363525391 × 131072)
    floor (40516.5)     		ty = 40516
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61516 / 40516 ti = "17/61516/40516"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61516/40516.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61516 ÷ 217
    61516 ÷ 131072     		x = 0.469329833984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40516 ÷ 217
    40516 ÷ 131072     		y = 0.309112548828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.469329833984375 × 2 - 1) × π
    -0.06134033203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.19270634
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.309112548828125 × 2 - 1) × π
    0.38177490234375 × 3.1415926535     		Φ = 1.19938122849381
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.19270634} λ = -0.19270634}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.19938122849381))-π/2
    2×atan(3.3180631644566)-π/2
    2×1.27807337194151-π/2
    2.55614674388302-1.57079632675     		φ = 0.98535042
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.19270634} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -11.041260°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.98535042 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.456420°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61516 KachelY 40516 -0.19270634 0.98535042 -11.041260 56.456420
    Oben rechts KachelX + 1 61517 KachelY 40516 -0.19265840 0.98535042 -11.038513 56.456420
    Unten links KachelX 61516 KachelY + 1 40517 -0.19270634 0.98532393 -11.041260 56.454903
    Unten rechts KachelX + 1 61517 KachelY + 1 40517 -0.19265840 0.98532393 -11.038513 56.454903
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.98535042-0.98532393) × R
    2.64899999999901e-05 × 6371000     		dl = 168.767789999937m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.98535042-0.98532393) × R
    2.64899999999901e-05 × 6371000     		dr = 168.767789999937m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.19270634--0.19265840) × cos(0.98535042) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.552571085304299 × 6371000     		do = 168.769432631656m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.19270634--0.19265840) × cos(0.98532393) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.552593163618763 × 6371000     		du = 168.776175917189m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.98535042)-sin(0.98532393))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.552571085304299-0.552593163618763)×R²
    abs(-0.19265840--0.19270634)×2.20783144637693e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.20783144637693e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.20783144637693e-05×40589641000000     		ar = 28483.4131911644m²