Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 61515 / 34799
↖ ↑ ↗
← N 64.188445°
W 11.044006°		 ← 132.96 m → N 64.188445°
W 11.041260°		 →
↑
132.96 m
↓
↑
132.96 m
↓
N 64.187249°
W 11.044006°		 ← 132.96 m →
17 679 m²		 N 64.187249°
W 11.041260°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61515 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 34799 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.469326019287109 y=0.265499114990234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.469326019287109 × 217)
    floor (0.469326019287109 × 131072)
    floor (61515.5)     		tx = 61515
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.265499114990234 × 217)
    floor (0.265499114990234 × 131072)
    floor (34799.5)     		ty = 34799
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61515 / 34799 ti = "17/61515/34799"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61515/34799.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61515 ÷ 217
    61515 ÷ 131072     		x = 0.469322204589844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 34799 ÷ 217
    34799 ÷ 131072     		y = 0.265495300292969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.469322204589844 × 2 - 1) × π
    -0.0613555908203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.19275427
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.265495300292969 × 2 - 1) × π
    0.469009399414062 × 3.1415926535     		Φ = 1.47343648362167
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.19275427} λ = -0.19275427}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.47343648362167))-π/2
    2×atan(4.36420692680602)-π/2
    2×1.34554801338207-π/2
    2.69109602676414-1.57079632675     		φ = 1.12029970
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.19275427} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -11.044006°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.12029970 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 64.188445°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61515 KachelY 34799 -0.19275427 1.12029970 -11.044006 64.188445
    Oben rechts KachelX + 1 61516 KachelY 34799 -0.19270634 1.12029970 -11.041260 64.188445
    Unten links KachelX 61515 KachelY + 1 34800 -0.19275427 1.12027883 -11.044006 64.187249
    Unten rechts KachelX + 1 61516 KachelY + 1 34800 -0.19270634 1.12027883 -11.041260 64.187249
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.12029970-1.12027883) × R
    2.08699999999507e-05 × 6371000     		dl = 132.962769999686m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.12029970-1.12027883) × R
    2.08699999999507e-05 × 6371000     		dr = 132.962769999686m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.19275427--0.19270634) × cos(1.12029970) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.435412666611712 × 6371000     		do = 132.95849576427m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.19275427--0.19270634) × cos(1.12027883) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.435431454337352 × 6371000     		du = 132.96423282231m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.12029970)-sin(1.12027883))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.435412666611712-0.435431454337352)×R²
    abs(-0.19270634--0.19275427)×1.87877256396241e-05×R²
    4.79300000000016e-05×1.87877256396241e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×1.87877256396241e-05×40589641000000     		ar = 17678.9113000488m²