Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 61514 / 34688
↖ ↑ ↗
← N 64.320872°
W 11.046753°		 ← 132.35 m → N 64.320872°
W 11.044006°		 →
↑
132.39 m
↓
↑
132.39 m
↓
N 64.319681°
W 11.046753°		 ← 132.36 m →
17 522 m²		 N 64.319681°
W 11.044006°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61514 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 34688 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.469318389892578 y=0.264652252197266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.469318389892578 × 217)
    floor (0.469318389892578 × 131072)
    floor (61514.5)     		tx = 61514
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.264652252197266 × 217)
    floor (0.264652252197266 × 131072)
    floor (34688.5)     		ty = 34688
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61514 / 34688 ti = "17/61514/34688"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61514/34688.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61514 ÷ 217
    61514 ÷ 131072     		x = 0.469314575195312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 34688 ÷ 217
    34688 ÷ 131072     		y = 0.2646484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.469314575195312 × 2 - 1) × π
    -0.061370849609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.19280221
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2646484375 × 2 - 1) × π
    0.470703125 × 3.1415926535     		Φ = 1.47875747947949
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.19280221} λ = -0.19280221}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.47875747947949))-π/2
    2×atan(4.3874907454012)-π/2
    2×1.34670365679917-π/2
    2.69340731359834-1.57079632675     		φ = 1.12261099
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.19280221} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -11.046753°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.12261099 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 64.320872°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61514 KachelY 34688 -0.19280221 1.12261099 -11.046753 64.320872
    Oben rechts KachelX + 1 61515 KachelY 34688 -0.19275427 1.12261099 -11.044006 64.320872
    Unten links KachelX 61514 KachelY + 1 34689 -0.19280221 1.12259021 -11.046753 64.319681
    Unten rechts KachelX + 1 61515 KachelY + 1 34689 -0.19275427 1.12259021 -11.044006 64.319681
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.12261099-1.12259021) × R
    2.07800000000535e-05 × 6371000     		dl = 132.389380000341m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.12261099-1.12259021) × R
    2.07800000000535e-05 × 6371000     		dr = 132.389380000341m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.19280221--0.19275427) × cos(1.12261099) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.433330810612138 × 6371000     		do = 132.350383496002m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.19280221--0.19275427) × cos(1.12259021) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.433349538180534 × 6371000     		du = 132.356103377438m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.12261099)-sin(1.12259021))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.433330810612138-0.433349538180534)×R²
    abs(-0.19275427--0.19280221)×1.87275683959376e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.87275683959376e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.87275683959376e-05×40589641000000     		ar = 17522.1638403929m²