Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 61513 / 34797
↖ ↑ ↗
← N 64.190836°
W 11.049500°		 ← 132.97 m → N 64.190836°
W 11.046753°		 →
↑
132.96 m
↓
↑
132.96 m
↓
N 64.189640°
W 11.049500°		 ← 132.98 m →
17 681 m²		 N 64.189640°
W 11.046753°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61513 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 34797 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.469310760498047 y=0.265483856201172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.469310760498047 × 217)
    floor (0.469310760498047 × 131072)
    floor (61513.5)     		tx = 61513
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.265483856201172 × 217)
    floor (0.265483856201172 × 131072)
    floor (34797.5)     		ty = 34797
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61513 / 34797 ti = "17/61513/34797"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61513/34797.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61513 ÷ 217
    61513 ÷ 131072     		x = 0.469306945800781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 34797 ÷ 217
    34797 ÷ 131072     		y = 0.265480041503906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.469306945800781 × 2 - 1) × π
    -0.0613861083984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.19285015
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.265480041503906 × 2 - 1) × π
    0.469039916992188 × 3.1415926535     		Φ = 1.47353235742091
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.19285015} λ = -0.19285015}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.47353235742091))-π/2
    2×atan(4.36462535996283)-π/2
    2×1.34556888481465-π/2
    2.69113776962931-1.57079632675     		φ = 1.12034144
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.19285015} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -11.049500°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.12034144 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 64.190836°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61513 KachelY 34797 -0.19285015 1.12034144 -11.049500 64.190836
    Oben rechts KachelX + 1 61514 KachelY 34797 -0.19280221 1.12034144 -11.046753 64.190836
    Unten links KachelX 61513 KachelY + 1 34798 -0.19285015 1.12032057 -11.049500 64.189640
    Unten rechts KachelX + 1 61514 KachelY + 1 34798 -0.19280221 1.12032057 -11.046753 64.189640
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.12034144-1.12032057) × R
    2.08699999999507e-05 × 6371000     		dl = 132.962769999686m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.12034144-1.12032057) × R
    2.08699999999507e-05 × 6371000     		dr = 132.962769999686m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.19285015--0.19280221) × cos(1.12034144) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.4353750905915 × 6371000     		do = 132.974759221466m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.19285015--0.19280221) × cos(1.12032057) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.435393878696425 × 6371000     		du = 132.980497592316m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.12034144)-sin(1.12032057))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.4353750905915-0.435393878696425)×R²
    abs(-0.19280221--0.19285015)×1.87881049253935e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.87881049253935e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.87881049253935e-05×40589641000000     		ar = 17681.0738214215m²