Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 61512 / 33848
↖ ↑ ↗
← N 65.302650°
W 11.052246°		 ← 127.59 m → N 65.302650°
W 11.049500°		 →
↑
127.61 m
↓
↑
127.61 m
↓
N 65.301503°
W 11.052246°		 ← 127.59 m →
16 282 m²		 N 65.301503°
W 11.049500°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61512 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 33848 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.469303131103516 y=0.258243560791016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.469303131103516 × 217)
    floor (0.469303131103516 × 131072)
    floor (61512.5)     		tx = 61512
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.258243560791016 × 217)
    floor (0.258243560791016 × 131072)
    floor (33848.5)     		ty = 33848
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61512 / 33848 ti = "17/61512/33848"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61512/33848.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61512 ÷ 217
    61512 ÷ 131072     		x = 0.46929931640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 33848 ÷ 217
    33848 ÷ 131072     		y = 0.25823974609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.46929931640625 × 2 - 1) × π
    -0.0614013671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.19289808
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.25823974609375 × 2 - 1) × π
    0.4835205078125 × 3.1415926535     		Φ = 1.51902447516034
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.19289808} λ = -0.19289808}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.51902447516034))-π/2
    2×atan(4.56776705076062)-π/2
    2×1.35527129088376-π/2
    2.71054258176752-1.57079632675     		φ = 1.13974626
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.19289808} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -11.052246°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.13974626 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 65.302650°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61512 KachelY 33848 -0.19289808 1.13974626 -11.052246 65.302650
    Oben rechts KachelX + 1 61513 KachelY 33848 -0.19285015 1.13974626 -11.049500 65.302650
    Unten links KachelX 61512 KachelY + 1 33849 -0.19289808 1.13972623 -11.052246 65.301503
    Unten rechts KachelX + 1 61513 KachelY + 1 33849 -0.19285015 1.13972623 -11.049500 65.301503
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.13974626-1.13972623) × R
    2.00299999999487e-05 × 6371000     		dl = 127.611129999673m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.13974626-1.13972623) × R
    2.00299999999487e-05 × 6371000     		dr = 127.611129999673m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.19289808--0.19285015) × cos(1.13974626) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.417825047175989 × 6371000     		do = 127.58790459051m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.19289808--0.19285015) × cos(1.13972623) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.417843244898126 × 6371000     		du = 127.593461483883m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.13974626)-sin(1.13972623))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.417825047175989-0.417843244898126)×R²
    abs(-0.19285015--0.19289808)×1.81977221367369e-05×R²
    4.79300000000016e-05×1.81977221367369e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×1.81977221367369e-05×40589641000000     		ar = 16281.9912402653m²