Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 61511 / 40792
↖ ↑ ↗
← N 56.035226°
W 11.054993°		 ← 170.64 m → N 56.035226°
W 11.052246°		 →
↑
170.68 m
↓
↑
170.68 m
↓
N 56.033691°
W 11.054993°		 ← 170.64 m →
29 125 m²		 N 56.033691°
W 11.052246°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61511 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40792 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.469295501708984 y=0.311222076416016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.469295501708984 × 217)
    floor (0.469295501708984 × 131072)
    floor (61511.5)     		tx = 61511
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.311222076416016 × 217)
    floor (0.311222076416016 × 131072)
    floor (40792.5)     		ty = 40792
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61511 / 40792 ti = "17/61511/40792"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61511/40792.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61511 ÷ 217
    61511 ÷ 131072     		x = 0.469291687011719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40792 ÷ 217
    40792 ÷ 131072     		y = 0.31121826171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.469291687011719 × 2 - 1) × π
    -0.0614166259765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.19294602
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.31121826171875 × 2 - 1) × π
    0.3775634765625 × 3.1415926535     		Φ = 1.18615064419867
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.19294602} λ = -0.19294602}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.18615064419867))-π/2
    2×atan(3.27445238427878)-π/2
    2×1.27439775689996-π/2
    2.54879551379992-1.57079632675     		φ = 0.97799919
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.19294602} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -11.054993°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.97799919 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.035226°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61511 KachelY 40792 -0.19294602 0.97799919 -11.054993 56.035226
    Oben rechts KachelX + 1 61512 KachelY 40792 -0.19289808 0.97799919 -11.052246 56.035226
    Unten links KachelX 61511 KachelY + 1 40793 -0.19294602 0.97797240 -11.054993 56.033691
    Unten rechts KachelX + 1 61512 KachelY + 1 40793 -0.19289808 0.97797240 -11.052246 56.033691
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.97799919-0.97797240) × R
    2.67900000000543e-05 × 6371000     		dl = 170.679090000346m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.97799919-0.97797240) × R
    2.67900000000543e-05 × 6371000     		dr = 170.679090000346m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.19294602--0.19289808) × cos(0.97799919) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.558683098154115 × 6371000     		do = 170.6361986792m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.19294602--0.19289808) × cos(0.97797240) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.558705317076314 × 6371000     		du = 170.642984909955m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.97799919)-sin(0.97797240))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.558683098154115-0.558705317076314)×R²
    abs(-0.19289808--0.19294602)×2.22189221987801e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.22189221987801e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.22189221987801e-05×40589641000000     		ar = 29124.6102472371m²