Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 61509 / 34227
↖ ↑ ↗
← N 64.864108°
W 11.060486°		 ← 129.71 m → N 64.864108°
W 11.057739°		 →
↑
129.71 m
↓
↑
129.71 m
↓
N 64.862941°
W 11.060486°		 ← 129.71 m →
16 825 m²		 N 64.862941°
W 11.057739°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61509 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 34227 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.469280242919922 y=0.261135101318359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.469280242919922 × 217)
    floor (0.469280242919922 × 131072)
    floor (61509.5)     		tx = 61509
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.261135101318359 × 217)
    floor (0.261135101318359 × 131072)
    floor (34227.5)     		ty = 34227
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61509 / 34227 ti = "17/61509/34227"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61509/34227.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61509 ÷ 217
    61509 ÷ 131072     		x = 0.469276428222656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 34227 ÷ 217
    34227 ÷ 131072     		y = 0.261131286621094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.469276428222656 × 2 - 1) × π
    -0.0614471435546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.19304189
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.261131286621094 × 2 - 1) × π
    0.477737426757812 × 3.1415926535     		Φ = 1.50085639020434
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.19304189} λ = -0.19304189}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.50085639020434))-π/2
    2×atan(4.48552878887079)-π/2
    2×1.35144428952814-π/2
    2.70288857905628-1.57079632675     		φ = 1.13209225
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.19304189} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -11.060486°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.13209225 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 64.864108°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61509 KachelY 34227 -0.19304189 1.13209225 -11.060486 64.864108
    Oben rechts KachelX + 1 61510 KachelY 34227 -0.19299396 1.13209225 -11.057739 64.864108
    Unten links KachelX 61509 KachelY + 1 34228 -0.19304189 1.13207189 -11.060486 64.862941
    Unten rechts KachelX + 1 61510 KachelY + 1 34228 -0.19299396 1.13207189 -11.057739 64.862941
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.13209225-1.13207189) × R
    2.03599999999415e-05 × 6371000     		dl = 129.713559999628m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.13209225-1.13207189) × R
    2.03599999999415e-05 × 6371000     		dr = 129.713559999628m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.19304189--0.19299396) × cos(1.13209225) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.424766619054031 × 6371000     		do = 129.70759707058m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.19304189--0.19299396) × cos(1.13207189) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.424785050932793 × 6371000     		du = 129.713225466495m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.13209225)-sin(1.13207189))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.424766619054031-0.424785050932793)×R²
    abs(-0.19299396--0.19304189)×1.84318787627702e-05×R²
    4.79300000000016e-05×1.84318787627702e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×1.84318787627702e-05×40589641000000     		ar = 16825.1992151227m²