Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 61507 / 34685
↖ ↑ ↗
← N 64.324442°
W 11.065979°		 ← 132.33 m → N 64.324442°
W 11.063232°		 →
↑
132.33 m
↓
↑
132.33 m
↓
N 64.323252°
W 11.065979°		 ← 132.34 m →
17 511 m²		 N 64.323252°
W 11.063232°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61507 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 34685 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.469264984130859 y=0.264629364013672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.469264984130859 × 217)
    floor (0.469264984130859 × 131072)
    floor (61507.5)     		tx = 61507
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.264629364013672 × 217)
    floor (0.264629364013672 × 131072)
    floor (34685.5)     		ty = 34685
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61507 / 34685 ti = "17/61507/34685"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61507/34685.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61507 ÷ 217
    61507 ÷ 131072     		x = 0.469261169433594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 34685 ÷ 217
    34685 ÷ 131072     		y = 0.264625549316406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.469261169433594 × 2 - 1) × π
    -0.0614776611328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.19313777
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.264625549316406 × 2 - 1) × π
    0.470748901367188 × 3.1415926535     		Φ = 1.47890129017835
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.19313777} λ = -0.19313777}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.47890129017835))-π/2
    2×atan(4.3881217588837)-π/2
    2×1.3467348135836-π/2
    2.69346962716719-1.57079632675     		φ = 1.12267330
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.19313777} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -11.065979°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.12267330 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 64.324442°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61507 KachelY 34685 -0.19313777 1.12267330 -11.065979 64.324442
    Oben rechts KachelX + 1 61508 KachelY 34685 -0.19308983 1.12267330 -11.063232 64.324442
    Unten links KachelX 61507 KachelY + 1 34686 -0.19313777 1.12265253 -11.065979 64.323252
    Unten rechts KachelX + 1 61508 KachelY + 1 34686 -0.19308983 1.12265253 -11.063232 64.323252
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.12267330-1.12265253) × R
    2.07699999998923e-05 × 6371000     		dl = 132.325669999314m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.12267330-1.12265253) × R
    2.07699999998923e-05 × 6371000     		dr = 132.325669999314m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.19313777--0.19308983) × cos(1.12267330) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.433274653822146 × 6371000     		do = 132.333231766863m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.19313777--0.19308983) × cos(1.12265253) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.433293372939065 × 6371000     		du = 132.338949067m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.12267330)-sin(1.12265253))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.433274653822146-0.433293372939065)×R²
    abs(-0.19308983--0.19313777)×1.8719116919752e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.8719116919752e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.8719116919752e-05×40589641000000     		ar = 17511.4618300509m²