Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 61500 / 34693
↖ ↑ ↗
← N 64.314920°
W 11.085205°		 ← 132.38 m → N 64.314920°
W 11.082458°		 →
↑
132.33 m
↓
↑
132.33 m
↓
N 64.313730°
W 11.085205°		 ← 132.38 m →
17 518 m²		 N 64.313730°
W 11.082458°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61500 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 34693 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.469211578369141 y=0.264690399169922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.469211578369141 × 217)
    floor (0.469211578369141 × 131072)
    floor (61500.5)     		tx = 61500
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.264690399169922 × 217)
    floor (0.264690399169922 × 131072)
    floor (34693.5)     		ty = 34693
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61500 / 34693 ti = "17/61500/34693"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61500/34693.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61500 ÷ 217
    61500 ÷ 131072     		x = 0.469207763671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 34693 ÷ 217
    34693 ÷ 131072     		y = 0.264686584472656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.469207763671875 × 2 - 1) × π
    -0.06158447265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.19347333
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.264686584472656 × 2 - 1) × π
    0.470626831054688 × 3.1415926535     		Φ = 1.47851779498139
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.19347333} λ = -0.19347333}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.47851779498139))-π/2
    2×atan(4.38643925790163)-π/2
    2×1.34665171985069-π/2
    2.69330343970138-1.57079632675     		φ = 1.12250711
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.19347333} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -11.085205°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.12250711 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 64.314920°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61500 KachelY 34693 -0.19347333 1.12250711 -11.085205 64.314920
    Oben rechts KachelX + 1 61501 KachelY 34693 -0.19342539 1.12250711 -11.082458 64.314920
    Unten links KachelX 61500 KachelY + 1 34694 -0.19347333 1.12248634 -11.085205 64.313730
    Unten rechts KachelX + 1 61501 KachelY + 1 34694 -0.19342539 1.12248634 -11.082458 64.313730
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.12250711-1.12248634) × R
    2.07699999998923e-05 × 6371000     		dl = 132.325669999314m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.12250711-1.12248634) × R
    2.07699999998923e-05 × 6371000     		dr = 132.325669999314m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.19347333--0.19342539) × cos(1.12250711) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.433424428558999 × 6371000     		do = 132.378976826699m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.19347333--0.19342539) × cos(1.12248634) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.433443146180065 × 6371000     		du = 132.384693669964m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.12250711)-sin(1.12248634))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.433424428558999-0.433443146180065)×R²
    abs(-0.19342539--0.19347333)×1.87176210660889e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.87176210660889e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.87176210660889e-05×40589641000000     		ar = 17517.5150454647m²