Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 6150 / 6438
↖ ↑ ↗
← S 71.159391°
E 90.263672°		 ← 1 578.03 m → S 71.159391°
E 90.307617°		 →
↑
1 577.46 m
↓
↑
1 577.46 m
↓
S 71.173578°
E 90.263672°		 ← 1 576.88 m →
2 488 371 m²		 S 71.173578°
E 90.307617°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6150 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6438 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.75079345703125 y=0.78594970703125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.75079345703125 × 213)
    floor (0.75079345703125 × 8192)
    floor (6150.5)     		tx = 6150
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.78594970703125 × 213)
    floor (0.78594970703125 × 8192)
    floor (6438.5)     		ty = 6438
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 6150 / 6438 ti = "13/6150/6438"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/6150/6438.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6150 ÷ 213
    6150 ÷ 8192     		x = 0.750732421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6438 ÷ 213
    6438 ÷ 8192     		y = 0.785888671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.750732421875 × 2 - 1) × π
    0.50146484375 × 3.1415926535     		Λ = 1.57539827
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.785888671875 × 2 - 1) × π
    -0.57177734375 × 3.1415926535     		Φ = -1.79629150256274
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.57539827} λ = 1.57539827}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.79629150256274))-π/2
    2×atan(0.165913036805299)-π/2
    2×0.164415326436336-π/2
    0.328830652872672-1.57079632675     		φ = -1.24196567
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.57539827} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 90.263672°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.24196567 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -71.159391°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6150 KachelY 6438 1.57539827 -1.24196567 90.263672 -71.159391
    Oben rechts KachelX + 1 6151 KachelY 6438 1.57616526 -1.24196567 90.307617 -71.159391
    Unten links KachelX 6150 KachelY + 1 6439 1.57539827 -1.24221327 90.263672 -71.173578
    Unten rechts KachelX + 1 6151 KachelY + 1 6439 1.57616526 -1.24221327 90.307617 -71.173578
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.24196567--1.24221327) × R
    0.000247600000000014 × 6371000     		dl = 1577.45960000009m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.24196567--1.24221327) × R
    0.000247600000000014 × 6371000     		dr = 1577.45960000009m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.57539827-1.57616526) × cos(-1.24196567) × R
    0.000766990000000023 × 0.322936558918546 × 6371000     		do = 1578.02732825121m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.57539827-1.57616526) × cos(-1.24221327) × R
    0.000766990000000023 × 0.322702215277938 × 6371000     		du = 1576.88220962383m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.24196567)-sin(-1.24221327))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.322936558918546-0.322702215277938)×R²
    abs(1.57616526-1.57539827)×0.000234343640608148×R²
    0.000766990000000023×0.000234343640608148×6371000²
    0.000766990000000023×0.000234343640608148×40589641000000     		ar = 2488371.18153562m²