Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
10 / 615 / 476
↖ ↑ ↗
← N 12.554564°
E 36.210937°		 ← 38.157 km → N 12.554564°
E 36.562500°		 →
↑
38.182 km
↓
↑
38.182 km
↓
N 12.211180°
E 36.210937°		 ← 38.208 km →
1 457.90 km²		 N 12.211180°
E 36.562500°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 10 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 615 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 476 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.60107421875 y=0.46533203125 und der Vergrößerungsstufe zoom=10 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.60107421875 × 210)
    floor (0.60107421875 × 1024)
    floor (615.5)     		tx = 615
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.46533203125 × 210)
    floor (0.46533203125 × 1024)
    floor (476.5)     		ty = 476
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 10 / 615 / 476 ti = "10/615/476"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/10/615/476.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 615 ÷ 210
    615 ÷ 1024     		x = 0.6005859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 476 ÷ 210
    476 ÷ 1024     		y = 0.46484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6005859375 × 2 - 1) × π
    0.201171875 × 3.1415926535     		Λ = 0.63200008
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.46484375 × 2 - 1) × π
    0.0703125 × 3.1415926535     		Φ = 0.220893233449219
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.63200008} λ = 0.63200008}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.220893233449219))-π/2
    2×atan(1.2471902652526)-π/2
    2×0.894957398256745-π/2
    1.78991479651349-1.57079632675     		φ = 0.21911847
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.63200008} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 36.210937°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.21911847 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 12.554564°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 615 KachelY 476 0.63200008 0.21911847 36.210937 12.554564
    Oben rechts KachelX + 1 616 KachelY 476 0.63813601 0.21911847 36.562500 12.554564
    Unten links KachelX 615 KachelY + 1 477 0.63200008 0.21312530 36.210937 12.211180
    Unten rechts KachelX + 1 616 KachelY + 1 477 0.63813601 0.21312530 36.562500 12.211180
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.21911847-0.21312530) × R
    0.00599317000000002 × 6371000     		dl = 38182.4860700001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.21911847-0.21312530) × R
    0.00599317000000002 × 6371000     		dr = 38182.4860700001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.63200008-0.63813601) × cos(0.21911847) × R
    0.00613593000000001 × 0.976089446082766 × 6371000     		do = 38157.2984164447m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.63200008-0.63813601) × cos(0.21312530) × R
    0.00613593000000001 × 0.97737463960511 × 6371000     		du = 38207.5392145107m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.21911847)-sin(0.21312530))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.976089446082766-0.97737463960511)×R²
    abs(0.63813601-0.63200008)×0.00128519352234424×R²
    0.00613593000000001×0.00128519352234424×6371000²
    0.00613593000000001×0.00128519352234424×40589641000000     		ar = 1457904038.3038m²