Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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10 / 615 / 470
↖ ↑ ↗
← N 14.604847°
E 36.210937°		 ← 37.829 km → N 14.604847°
E 36.562500°		 →
↑
37.858 km
↓
↑
37.858 km
↓
N 14.264383°
E 36.210937°		 ← 37.887 km →
1 433.22 km²		 N 14.264383°
E 36.562500°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 10 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 615 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 470 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.60107421875 y=0.45947265625 und der Vergrößerungsstufe zoom=10 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.60107421875 × 210)
    floor (0.60107421875 × 1024)
    floor (615.5)     		tx = 615
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.45947265625 × 210)
    floor (0.45947265625 × 1024)
    floor (470.5)     		ty = 470
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 10 / 615 / 470 ti = "10/615/470"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/10/615/470.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 615 ÷ 210
    615 ÷ 1024     		x = 0.6005859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 470 ÷ 210
    470 ÷ 1024     		y = 0.458984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6005859375 × 2 - 1) × π
    0.201171875 × 3.1415926535     		Λ = 0.63200008
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.458984375 × 2 - 1) × π
    0.08203125 × 3.1415926535     		Φ = 0.257708772357422
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.63200008} λ = 0.63200008}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.257708772357422))-π/2
    2×atan(1.29396192626479)-π/2
    2×0.912849498196993-π/2
    1.82569899639399-1.57079632675     		φ = 0.25490267
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.63200008} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 36.210937°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.25490267 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 14.604847°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 615 KachelY 470 0.63200008 0.25490267 36.210937 14.604847
    Oben rechts KachelX + 1 616 KachelY 470 0.63813601 0.25490267 36.562500 14.604847
    Unten links KachelX 615 KachelY + 1 471 0.63200008 0.24896045 36.210937 14.264383
    Unten rechts KachelX + 1 616 KachelY + 1 471 0.63813601 0.24896045 36.562500 14.264383
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.25490267-0.24896045) × R
    0.00594222 × 6371000     		dl = 37857.88362m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.25490267-0.24896045) × R
    0.00594222 × 6371000     		dr = 37857.88362m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.63200008-0.63813601) × cos(0.25490267) × R
    0.00613593000000001 × 0.96768784215076 × 6371000     		do = 37828.8628312666m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.63200008-0.63813601) × cos(0.24896045) × R
    0.00613593000000001 × 0.969169086915728 × 6371000     		du = 37886.7676664756m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.25490267)-sin(0.24896045))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.96768784215076-0.969169086915728)×R²
    abs(0.63813601-0.63200008)×0.00148124476496814×R²
    0.00613593000000001×0.00148124476496814×6371000²
    0.00613593000000001×0.00148124476496814×40589641000000     		ar = 1433220981.05188m²