Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 61499 / 40777
↖ ↑ ↗
← N 56.058236°
W 11.087951°		 ← 170.50 m → N 56.058236°
W 11.085205°		 →
↑
170.55 m
↓
↑
170.55 m
↓
N 56.056702°
W 11.087951°		 ← 170.51 m →
29 079 m²		 N 56.056702°
W 11.085205°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61499 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40777 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.469203948974609 y=0.311107635498047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.469203948974609 × 217)
    floor (0.469203948974609 × 131072)
    floor (61499.5)     		tx = 61499
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.311107635498047 × 217)
    floor (0.311107635498047 × 131072)
    floor (40777.5)     		ty = 40777
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61499 / 40777 ti = "17/61499/40777"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61499/40777.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61499 ÷ 217
    61499 ÷ 131072     		x = 0.469200134277344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40777 ÷ 217
    40777 ÷ 131072     		y = 0.311103820800781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.469200134277344 × 2 - 1) × π
    -0.0615997314453125 × 3.1415926535     		Λ = -0.19352126
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.311103820800781 × 2 - 1) × π
    0.377792358398438 × 3.1415926535     		Φ = 1.18686969769297
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.19352126} λ = -0.19352126}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.18686969769297))-π/2
    2×atan(3.27680773741858)-π/2
    2×1.27459855853049-π/2
    2.54919711706098-1.57079632675     		φ = 0.97840079
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.19352126} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -11.087951°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.97840079 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.058236°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61499 KachelY 40777 -0.19352126 0.97840079 -11.087951 56.058236
    Oben rechts KachelX + 1 61500 KachelY 40777 -0.19347333 0.97840079 -11.085205 56.058236
    Unten links KachelX 61499 KachelY + 1 40778 -0.19352126 0.97837402 -11.087951 56.056702
    Unten rechts KachelX + 1 61500 KachelY + 1 40778 -0.19347333 0.97837402 -11.085205 56.056702
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.97840079-0.97837402) × R
    2.67700000000648e-05 × 6371000     		dl = 170.551670000413m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.97840079-0.97837402) × R
    2.67700000000648e-05 × 6371000     		dr = 170.551670000413m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.19352126--0.19347333) × cos(0.97840079) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.558349973615163 × 6371000     		do = 170.498881393578m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.19352126--0.19347333) × cos(0.97837402) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.558372181954674 × 6371000     		du = 170.505662977214m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.97840079)-sin(0.97837402))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.558349973615163-0.558372181954674)×R²
    abs(-0.19347333--0.19352126)×2.22083395106099e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.22083395106099e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.22083395106099e-05×40589641000000     		ar = 29079.4472618136m²