Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 61499 / 34694
↖ ↑ ↗
← N 64.313730°
W 11.087951°		 ← 132.36 m → N 64.313730°
W 11.085205°		 →
↑
132.39 m
↓
↑
132.39 m
↓
N 64.312539°
W 11.087951°		 ← 132.36 m →
17 523 m²		 N 64.312539°
W 11.085205°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61499 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 34694 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.469203948974609 y=0.264698028564453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.469203948974609 × 217)
    floor (0.469203948974609 × 131072)
    floor (61499.5)     		tx = 61499
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.264698028564453 × 217)
    floor (0.264698028564453 × 131072)
    floor (34694.5)     		ty = 34694
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61499 / 34694 ti = "17/61499/34694"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61499/34694.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61499 ÷ 217
    61499 ÷ 131072     		x = 0.469200134277344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 34694 ÷ 217
    34694 ÷ 131072     		y = 0.264694213867188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.469200134277344 × 2 - 1) × π
    -0.0615997314453125 × 3.1415926535     		Λ = -0.19352126
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.264694213867188 × 2 - 1) × π
    0.470611572265625 × 3.1415926535     		Φ = 1.47846985808177
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.19352126} λ = -0.19352126}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.47846985808177))-π/2
    2×atan(4.38622899064306)-π/2
    2×1.3466413311147-π/2
    2.69328266222939-1.57079632675     		φ = 1.12248634
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.19352126} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -11.087951°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.12248634 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 64.313730°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61499 KachelY 34694 -0.19352126 1.12248634 -11.087951 64.313730
    Oben rechts KachelX + 1 61500 KachelY 34694 -0.19347333 1.12248634 -11.085205 64.313730
    Unten links KachelX 61499 KachelY + 1 34695 -0.19352126 1.12246556 -11.087951 64.312539
    Unten rechts KachelX + 1 61500 KachelY + 1 34695 -0.19347333 1.12246556 -11.085205 64.312539
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.12248634-1.12246556) × R
    2.07800000000535e-05 × 6371000     		dl = 132.389380000341m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.12248634-1.12246556) × R
    2.07800000000535e-05 × 6371000     		dr = 132.389380000341m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.19352126--0.19347333) × cos(1.12248634) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.433443146180065 × 6371000     		do = 132.357079007136m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.19352126--0.19347333) × cos(1.12246556) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.433461872625866 × 6371000     		du = 132.36279735264m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.12248634)-sin(1.12246556))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.433443146180065-0.433461872625866)×R²
    abs(-0.19347333--0.19352126)×1.87264458010317e-05×R²
    4.79300000000016e-05×1.87264458010317e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×1.87264458010317e-05×40589641000000     		ar = 17523.0501532221m²