Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 61491 / 33837
↖ ↑ ↗
← N 65.315270°
W 11.109924°		 ← 127.55 m → N 65.315270°
W 11.107178°		 →
↑
127.55 m
↓
↑
127.55 m
↓
N 65.314123°
W 11.109924°		 ← 127.56 m →
16 269 m²		 N 65.314123°
W 11.107178°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61491 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 33837 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.469142913818359 y=0.258159637451172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.469142913818359 × 217)
    floor (0.469142913818359 × 131072)
    floor (61491.5)     		tx = 61491
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.258159637451172 × 217)
    floor (0.258159637451172 × 131072)
    floor (33837.5)     		ty = 33837
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61491 / 33837 ti = "17/61491/33837"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61491/33837.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61491 ÷ 217
    61491 ÷ 131072     		x = 0.469139099121094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 33837 ÷ 217
    33837 ÷ 131072     		y = 0.258155822753906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.469139099121094 × 2 - 1) × π
    -0.0617218017578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.19390476
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.258155822753906 × 2 - 1) × π
    0.483688354492188 × 3.1415926535     		Φ = 1.51955178105616
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.19390476} λ = -0.19390476}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.51955178105616))-π/2
    2×atan(4.57017629640611)-π/2
    2×1.35538142530621-π/2
    2.71076285061242-1.57079632675     		φ = 1.13996652
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.19390476} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -11.109924°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.13996652 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 65.315270°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61491 KachelY 33837 -0.19390476 1.13996652 -11.109924 65.315270
    Oben rechts KachelX + 1 61492 KachelY 33837 -0.19385682 1.13996652 -11.107178 65.315270
    Unten links KachelX 61491 KachelY + 1 33838 -0.19390476 1.13994650 -11.109924 65.314123
    Unten rechts KachelX + 1 61492 KachelY + 1 33838 -0.19385682 1.13994650 -11.107178 65.314123
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.13996652-1.13994650) × R
    2.00200000000095e-05 × 6371000     		dl = 127.54742000006m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.13996652-1.13994650) × R
    2.00200000000095e-05 × 6371000     		dr = 127.54742000006m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.19390476--0.19385682) × cos(1.13996652) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.417624924773759 × 6371000     		do = 127.55340169146m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.19390476--0.19385682) × cos(1.13994650) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.417643115252747 × 6371000     		du = 127.558957531966m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.13996652)-sin(1.13994650))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.417624924773759-0.417643115252747)×R²
    abs(-0.19385682--0.19390476)×1.81904789877674e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.81904789877674e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.81904789877674e-05×40589641000000     		ar = 16269.4616151714m²