Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 61490 / 34772
↖ ↑ ↗
← N 64.220715°
W 11.112671°		 ← 132.83 m → N 64.220715°
W 11.109924°		 →
↑
132.77 m
↓
↑
132.77 m
↓
N 64.219521°
W 11.112671°		 ← 132.84 m →
17 637 m²		 N 64.219521°
W 11.109924°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61490 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 34772 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.469135284423828 y=0.265293121337891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.469135284423828 × 217)
    floor (0.469135284423828 × 131072)
    floor (61490.5)     		tx = 61490
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.265293121337891 × 217)
    floor (0.265293121337891 × 131072)
    floor (34772.5)     		ty = 34772
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61490 / 34772 ti = "17/61490/34772"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61490/34772.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61490 ÷ 217
    61490 ÷ 131072     		x = 0.469131469726562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 34772 ÷ 217
    34772 ÷ 131072     		y = 0.265289306640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.469131469726562 × 2 - 1) × π
    -0.061737060546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.19395270
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.265289306640625 × 2 - 1) × π
    0.46942138671875 × 3.1415926535     		Φ = 1.47473077991141
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.19395270} λ = -0.19395270}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.47473077991141))-π/2
    2×atan(4.36985916068266)-π/2
    2×1.34582962577224-π/2
    2.69165925154448-1.57079632675     		φ = 1.12086292
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.19395270} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -11.112671°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.12086292 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 64.220715°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61490 KachelY 34772 -0.19395270 1.12086292 -11.112671 64.220715
    Oben rechts KachelX + 1 61491 KachelY 34772 -0.19390476 1.12086292 -11.109924 64.220715
    Unten links KachelX 61490 KachelY + 1 34773 -0.19395270 1.12084208 -11.112671 64.219521
    Unten rechts KachelX + 1 61491 KachelY + 1 34773 -0.19390476 1.12084208 -11.109924 64.219521
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.12086292-1.12084208) × R
    2.08399999999109e-05 × 6371000     		dl = 132.771639999433m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.12086292-1.12084208) × R
    2.08399999999109e-05 × 6371000     		dr = 132.771639999433m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.19395270--0.19390476) × cos(1.12086292) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.434905569488242 × 6371000     		do = 132.831355391057m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.19395270--0.19390476) × cos(1.12084208) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.434924335315017 × 6371000     		du = 132.837086957587m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.12086292)-sin(1.12084208))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.434905569488242-0.434924335315017)×R²
    abs(-0.19390476--0.19395270)×1.87658267752355e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.87658267752355e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.87658267752355e-05×40589641000000     		ar = 17636.6173939824m²