Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 61489 / 33838
↖ ↑ ↗
← N 65.314123°
W 11.115417°		 ← 127.53 m → N 65.314123°
W 11.112671°		 →
↑
127.55 m
↓
↑
127.55 m
↓
N 65.312976°
W 11.115417°		 ← 127.54 m →
16 267 m²		 N 65.312976°
W 11.112671°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61489 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 33838 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.469127655029297 y=0.258167266845703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.469127655029297 × 217)
    floor (0.469127655029297 × 131072)
    floor (61489.5)     		tx = 61489
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.258167266845703 × 217)
    floor (0.258167266845703 × 131072)
    floor (33838.5)     		ty = 33838
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61489 / 33838 ti = "17/61489/33838"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61489/33838.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61489 ÷ 217
    61489 ÷ 131072     		x = 0.469123840332031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 33838 ÷ 217
    33838 ÷ 131072     		y = 0.258163452148438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.469123840332031 × 2 - 1) × π
    -0.0617523193359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.19400063
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.258163452148438 × 2 - 1) × π
    0.483673095703125 × 3.1415926535     		Φ = 1.51950384415654
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.19400063} λ = -0.19400063}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.51950384415654))-π/2
    2×atan(4.56995722157467)-π/2
    2×1.35537141526625-π/2
    2.7107428305325-1.57079632675     		φ = 1.13994650
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.19400063} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -11.115417°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.13994650 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 65.314123°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61489 KachelY 33838 -0.19400063 1.13994650 -11.115417 65.314123
    Oben rechts KachelX + 1 61490 KachelY 33838 -0.19395270 1.13994650 -11.112671 65.314123
    Unten links KachelX 61489 KachelY + 1 33839 -0.19400063 1.13992648 -11.115417 65.312976
    Unten rechts KachelX + 1 61490 KachelY + 1 33839 -0.19395270 1.13992648 -11.112671 65.312976
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.13994650-1.13992648) × R
    2.00200000000095e-05 × 6371000     		dl = 127.54742000006m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.13994650-1.13992648) × R
    2.00200000000095e-05 × 6371000     		dr = 127.54742000006m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.19400063--0.19395270) × cos(1.13994650) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.417643115252747 × 6371000     		do = 127.532349489107m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.19400063--0.19395270) × cos(1.13992648) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.417661305564343 × 6371000     		du = 127.537904119582m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.13994650)-sin(1.13992648))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.417643115252747-0.417661305564343)×R²
    abs(-0.19395270--0.19400063)×1.81903115963333e-05×R²
    4.79300000000016e-05×1.81903115963333e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×1.81903115963333e-05×40589641000000     		ar = 16266.776383867m²