Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 61488 / 40679
↖ ↑ ↗
← N 56.208232°
W 11.118164°		 ← 169.87 m → N 56.208232°
W 11.115417°		 →
↑
169.85 m
↓
↑
169.85 m
↓
N 56.206704°
W 11.118164°		 ← 169.88 m →
28 853 m²		 N 56.206704°
W 11.115417°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61488 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40679 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.469120025634766 y=0.310359954833984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.469120025634766 × 217)
    floor (0.469120025634766 × 131072)
    floor (61488.5)     		tx = 61488
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.310359954833984 × 217)
    floor (0.310359954833984 × 131072)
    floor (40679.5)     		ty = 40679
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61488 / 40679 ti = "17/61488/40679"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61488/40679.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61488 ÷ 217
    61488 ÷ 131072     		x = 0.4691162109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40679 ÷ 217
    40679 ÷ 131072     		y = 0.310356140136719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4691162109375 × 2 - 1) × π
    -0.061767578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.19404857
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.310356140136719 × 2 - 1) × π
    0.379287719726562 × 3.1415926535     		Φ = 1.19156751385574
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.19404857} λ = -0.19404857}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.19156751385574))-π/2
    2×atan(3.2922377931746)-π/2
    2×1.27590751741376-π/2
    2.55181503482752-1.57079632675     		φ = 0.98101871
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.19404857} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -11.118164°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.98101871 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.208232°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61488 KachelY 40679 -0.19404857 0.98101871 -11.118164 56.208232
    Oben rechts KachelX + 1 61489 KachelY 40679 -0.19400063 0.98101871 -11.115417 56.208232
    Unten links KachelX 61488 KachelY + 1 40680 -0.19404857 0.98099205 -11.118164 56.206704
    Unten rechts KachelX + 1 61489 KachelY + 1 40680 -0.19400063 0.98099205 -11.115417 56.206704
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.98101871-0.98099205) × R
    2.66599999999562e-05 × 6371000     		dl = 169.850859999721m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.98101871-0.98099205) × R
    2.66599999999562e-05 × 6371000     		dr = 169.850859999721m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.19404857--0.19400063) × cos(0.98101871) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.556176221905618 × 6371000     		do = 169.870534145915m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.19404857--0.19400063) × cos(0.98099205) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.556198377884438 × 6371000     		du = 169.877301152141m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.98101871)-sin(0.98099205))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.556176221905618-0.556198377884438)×R²
    abs(-0.19400063--0.19404857)×2.21559788193826e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.21559788193826e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.21559788193826e-05×40589641000000     		ar = 28853.2310058257m²