Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 61487 / 34767
↖ ↑ ↗
← N 64.226687°
W 11.120911°		 ← 132.80 m → N 64.226687°
W 11.118164°		 →
↑
132.77 m
↓
↑
132.77 m
↓
N 64.225493°
W 11.120911°		 ← 132.81 m →
17 633 m²		 N 64.225493°
W 11.118164°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61487 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 34767 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.469112396240234 y=0.265254974365234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.469112396240234 × 217)
    floor (0.469112396240234 × 131072)
    floor (61487.5)     		tx = 61487
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.265254974365234 × 217)
    floor (0.265254974365234 × 131072)
    floor (34767.5)     		ty = 34767
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61487 / 34767 ti = "17/61487/34767"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61487/34767.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61487 ÷ 217
    61487 ÷ 131072     		x = 0.469108581542969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 34767 ÷ 217
    34767 ÷ 131072     		y = 0.265251159667969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.469108581542969 × 2 - 1) × π
    -0.0617828369140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.19409651
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.265251159667969 × 2 - 1) × π
    0.469497680664062 × 3.1415926535     		Φ = 1.47497046440951
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.19409651} λ = -0.19409651}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.47497046440951))-π/2
    2×atan(4.37090667371366)-π/2
    2×1.34588174020907-π/2
    2.69176348041814-1.57079632675     		φ = 1.12096715
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.19409651} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -11.120911°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.12096715 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 64.226687°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61487 KachelY 34767 -0.19409651 1.12096715 -11.120911 64.226687
    Oben rechts KachelX + 1 61488 KachelY 34767 -0.19404857 1.12096715 -11.118164 64.226687
    Unten links KachelX 61487 KachelY + 1 34768 -0.19409651 1.12094631 -11.120911 64.225493
    Unten rechts KachelX + 1 61488 KachelY + 1 34768 -0.19404857 1.12094631 -11.118164 64.225493
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.12096715-1.12094631) × R
    2.0840000000133e-05 × 6371000     		dl = 132.771640000847m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.12096715-1.12094631) × R
    2.0840000000133e-05 × 6371000     		dr = 132.771640000847m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.19409651--0.19404857) × cos(1.12096715) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.434811710505658 × 6371000     		do = 132.802688441846m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.19409651--0.19404857) × cos(1.12094631) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.434830477277033 × 6371000     		du = 132.808420296881m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.12096715)-sin(1.12094631))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.434811710505658-0.434830477277033)×R²
    abs(-0.19404857--0.19409651)×1.87667713754114e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.87667713754114e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.87667713754114e-05×40589641000000     		ar = 17632.8112554933m²