Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 61480 / 40760
↖ ↑ ↗
← N 56.084297°
W 11.140136°		 ← 170.38 m → N 56.084297°
W 11.137390°		 →
↑
170.42 m
↓
↑
170.42 m
↓
N 56.082765°
W 11.140136°		 ← 170.39 m →
29 038 m²		 N 56.082765°
W 11.137390°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61480 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40760 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.469058990478516 y=0.310977935791016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.469058990478516 × 217)
    floor (0.469058990478516 × 131072)
    floor (61480.5)     		tx = 61480
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.310977935791016 × 217)
    floor (0.310977935791016 × 131072)
    floor (40760.5)     		ty = 40760
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61480 / 40760 ti = "17/61480/40760"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61480/40760.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61480 ÷ 217
    61480 ÷ 131072     		x = 0.46905517578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40760 ÷ 217
    40760 ÷ 131072     		y = 0.31097412109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.46905517578125 × 2 - 1) × π
    -0.0618896484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.19443206
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.31097412109375 × 2 - 1) × π
    0.3780517578125 × 3.1415926535     		Φ = 1.18768462498651
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.19443206} λ = -0.19443206}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.18768462498651))-π/2
    2×atan(3.27947918584977)-π/2
    2×1.27482598895108-π/2
    2.54965197790216-1.57079632675     		φ = 0.97885565
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.19443206} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -11.140136°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.97885565 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.084297°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61480 KachelY 40760 -0.19443206 0.97885565 -11.140136 56.084297
    Oben rechts KachelX + 1 61481 KachelY 40760 -0.19438413 0.97885565 -11.137390 56.084297
    Unten links KachelX 61480 KachelY + 1 40761 -0.19443206 0.97882890 -11.140136 56.082765
    Unten rechts KachelX + 1 61481 KachelY + 1 40761 -0.19438413 0.97882890 -11.137390 56.082765
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.97885565-0.97882890) × R
    2.67499999999643e-05 × 6371000     		dl = 170.424249999773m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.97885565-0.97882890) × R
    2.67499999999643e-05 × 6371000     		dr = 170.424249999773m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.19443206--0.19438413) × cos(0.97885565) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.557972561503958 × 6371000     		do = 170.383634065154m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.19443206--0.19438413) × cos(0.97882890) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.557994760043222 × 6371000     		du = 170.390412656167m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.97885565)-sin(0.97882890))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.557972561503958-0.557994760043222)×R²
    abs(-0.19438413--0.19443206)×2.21985392643287e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.21985392643287e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.21985392643287e-05×40589641000000     		ar = 29038.0806678038m²