Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 61474 / 40694
↖ ↑ ↗
← N 56.185311°
W 11.156616°		 ← 169.97 m → N 56.185311°
W 11.153870°		 →
↑
169.98 m
↓
↑
169.98 m
↓
N 56.183782°
W 11.156616°		 ← 169.98 m →
28 892 m²		 N 56.183782°
W 11.153870°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61474 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40694 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.469013214111328 y=0.310474395751953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.469013214111328 × 217)
    floor (0.469013214111328 × 131072)
    floor (61474.5)     		tx = 61474
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.310474395751953 × 217)
    floor (0.310474395751953 × 131072)
    floor (40694.5)     		ty = 40694
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61474 / 40694 ti = "17/61474/40694"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61474/40694.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61474 ÷ 217
    61474 ÷ 131072     		x = 0.469009399414062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40694 ÷ 217
    40694 ÷ 131072     		y = 0.310470581054688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.469009399414062 × 2 - 1) × π
    -0.061981201171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.19471969
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.310470581054688 × 2 - 1) × π
    0.379058837890625 × 3.1415926535     		Φ = 1.19084846036143
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.19471969} λ = -0.19471969}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.19084846036143))-π/2
    2×atan(3.2898713489873)-π/2
    2×1.27570749743261-π/2
    2.55141499486521-1.57079632675     		φ = 0.98061867
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.19471969} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -11.156616°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.98061867 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.185311°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61474 KachelY 40694 -0.19471969 0.98061867 -11.156616 56.185311
    Oben rechts KachelX + 1 61475 KachelY 40694 -0.19467175 0.98061867 -11.153870 56.185311
    Unten links KachelX 61474 KachelY + 1 40695 -0.19471969 0.98059199 -11.156616 56.183782
    Unten rechts KachelX + 1 61475 KachelY + 1 40695 -0.19467175 0.98059199 -11.153870 56.183782
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.98061867-0.98059199) × R
    2.66800000000567e-05 × 6371000     		dl = 169.978280000361m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.98061867-0.98059199) × R
    2.66800000000567e-05 × 6371000     		dr = 169.978280000361m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.19471969--0.19467175) × cos(0.98061867) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.55650863638989 × 6371000     		do = 169.97206208576m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.19471969--0.19467175) × cos(0.98059199) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.556530803051702 × 6371000     		du = 169.978832354847m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.98061867)-sin(0.98059199))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.55650863638989-0.556530803051702)×R²
    abs(-0.19467175--0.19471969)×2.21666618119842e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.21666618119842e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.21666618119842e-05×40589641000000     		ar = 28892.1341624941m²