Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 61473 / 40929
↖ ↑ ↗
← N 55.824430°
W 11.159363°		 ← 171.53 m → N 55.824430°
W 11.156616°		 →
↑
171.51 m
↓
↑
171.51 m
↓
N 55.822888°
W 11.159363°		 ← 171.54 m →
29 419 m²		 N 55.822888°
W 11.156616°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61473 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40929 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.469005584716797 y=0.312267303466797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.469005584716797 × 217)
    floor (0.469005584716797 × 131072)
    floor (61473.5)     		tx = 61473
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.312267303466797 × 217)
    floor (0.312267303466797 × 131072)
    floor (40929.5)     		ty = 40929
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61473 / 40929 ti = "17/61473/40929"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61473/40929.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61473 ÷ 217
    61473 ÷ 131072     		x = 0.469001770019531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40929 ÷ 217
    40929 ÷ 131072     		y = 0.312263488769531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.469001770019531 × 2 - 1) × π
    -0.0619964599609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.19476762
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.312263488769531 × 2 - 1) × π
    0.375473022460938 × 3.1415926535     		Φ = 1.17958328895072
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.19476762} λ = -0.19476762}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.17958328895072))-π/2
    2×atan(3.25301835171954)-π/2
    2×1.27255822055337-π/2
    2.54511644110674-1.57079632675     		φ = 0.97432011
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.19476762} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -11.159363°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.97432011 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 55.824430°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61473 KachelY 40929 -0.19476762 0.97432011 -11.159363 55.824430
    Oben rechts KachelX + 1 61474 KachelY 40929 -0.19471969 0.97432011 -11.156616 55.824430
    Unten links KachelX 61473 KachelY + 1 40930 -0.19476762 0.97429319 -11.159363 55.822888
    Unten rechts KachelX + 1 61474 KachelY + 1 40930 -0.19471969 0.97429319 -11.156616 55.822888
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.97432011-0.97429319) × R
    2.69199999999303e-05 × 6371000     		dl = 171.507319999556m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.97432011-0.97429319) × R
    2.69199999999303e-05 × 6371000     		dr = 171.507319999556m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.19476762--0.19471969) × cos(0.97432011) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.561730670042656 × 6371000     		do = 171.531217717491m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.19476762--0.19471969) × cos(0.97429319) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.561752941297938 × 6371000     		du = 171.538018513215m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.97432011)-sin(0.97429319))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.561730670042656-0.561752941297938)×R²
    abs(-0.19471969--0.19476762)×2.22712552822024e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.22712552822024e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.22712552822024e-05×40589641000000     		ar = 29419.4426417712m²