Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 61472 / 34655
↖ ↑ ↗
← N 64.360119°
W 11.162109°		 ← 132.16 m → N 64.360119°
W 11.159363°		 →
↑
132.13 m
↓
↑
132.13 m
↓
N 64.358931°
W 11.162109°		 ← 132.17 m →
17 464 m²		 N 64.358931°
W 11.159363°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61472 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 34655 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.468997955322266 y=0.264400482177734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.468997955322266 × 217)
    floor (0.468997955322266 × 131072)
    floor (61472.5)     		tx = 61472
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.264400482177734 × 217)
    floor (0.264400482177734 × 131072)
    floor (34655.5)     		ty = 34655
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61472 / 34655 ti = "17/61472/34655"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61472/34655.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61472 ÷ 217
    61472 ÷ 131072     		x = 0.468994140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 34655 ÷ 217
    34655 ÷ 131072     		y = 0.264396667480469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.468994140625 × 2 - 1) × π
    -0.06201171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.19481556
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.264396667480469 × 2 - 1) × π
    0.471206665039062 × 3.1415926535     		Φ = 1.48033939716695
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.19481556} λ = -0.19481556}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.48033939716695))-π/2
    2×atan(4.39443688727874)-π/2
    2×1.34704615940407-π/2
    2.69409231880814-1.57079632675     		φ = 1.12329599
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.19481556} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -11.162109°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.12329599 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 64.360119°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61472 KachelY 34655 -0.19481556 1.12329599 -11.162109 64.360119
    Oben rechts KachelX + 1 61473 KachelY 34655 -0.19476762 1.12329599 -11.159363 64.360119
    Unten links KachelX 61472 KachelY + 1 34656 -0.19481556 1.12327525 -11.162109 64.358931
    Unten rechts KachelX + 1 61473 KachelY + 1 34656 -0.19476762 1.12327525 -11.159363 64.358931
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.12329599-1.12327525) × R
    2.07399999998525e-05 × 6371000     		dl = 132.134539999061m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.12329599-1.12327525) × R
    2.07399999998525e-05 × 6371000     		dr = 132.134539999061m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.19481556--0.19476762) × cos(1.12329599) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.432713363064928 × 6371000     		do = 132.161799121984m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.19481556--0.19476762) × cos(1.12327525) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.43273206073632 × 6371000     		du = 132.167509872105m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.12329599)-sin(1.12327525))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.432713363064928-0.43273206073632)×R²
    abs(-0.19476762--0.19481556)×1.86976713927312e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.86976713927312e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.86976713927312e-05×40589641000000     		ar = 17463.5158268654m²