Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 61459 / 40530
↖ ↑ ↗
← N 56.435167°
W 11.197815°		 ← 168.86 m → N 56.435167°
W 11.195068°		 →
↑
168.83 m
↓
↑
168.83 m
↓
N 56.433648°
W 11.197815°		 ← 168.87 m →
28 510 m²		 N 56.433648°
W 11.195068°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61459 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40530 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.468898773193359 y=0.309223175048828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.468898773193359 × 217)
    floor (0.468898773193359 × 131072)
    floor (61459.5)     		tx = 61459
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.309223175048828 × 217)
    floor (0.309223175048828 × 131072)
    floor (40530.5)     		ty = 40530
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61459 / 40530 ti = "17/61459/40530"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61459/40530.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61459 ÷ 217
    61459 ÷ 131072     		x = 0.468894958496094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40530 ÷ 217
    40530 ÷ 131072     		y = 0.309219360351562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.468894958496094 × 2 - 1) × π
    -0.0622100830078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.19543874
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.309219360351562 × 2 - 1) × π
    0.381561279296875 × 3.1415926535     		Φ = 1.19871011189912
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.19543874} λ = -0.19543874}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.19871011189912))-π/2
    2×atan(3.31583710426126)-π/2
    2×1.2778879002652-π/2
    2.55577580053039-1.57079632675     		φ = 0.98497947
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.19543874} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -11.197815°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.98497947 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.435167°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61459 KachelY 40530 -0.19543874 0.98497947 -11.197815 56.435167
    Oben rechts KachelX + 1 61460 KachelY 40530 -0.19539080 0.98497947 -11.195068 56.435167
    Unten links KachelX 61459 KachelY + 1 40531 -0.19543874 0.98495297 -11.197815 56.433648
    Unten rechts KachelX + 1 61460 KachelY + 1 40531 -0.19539080 0.98495297 -11.195068 56.433648
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.98497947-0.98495297) × R
    2.64999999999294e-05 × 6371000     		dl = 168.83149999955m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.98497947-0.98495297) × R
    2.64999999999294e-05 × 6371000     		dr = 168.83149999955m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.19543874--0.19539080) × cos(0.98497947) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.55288022140794 × 6371000     		do = 168.863850754871m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.19543874--0.19539080) × cos(0.98495297) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.552902302623417 × 6371000     		du = 168.870594926448m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.98497947)-sin(0.98495297))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.55288022140794-0.552902302623417)×R²
    abs(-0.19539080--0.19543874)×2.20812154765326e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.20812154765326e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.20812154765326e-05×40589641000000     		ar = 28510.1065344743m²