Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 6145 / 10131
↖ ↑ ↗
← S 39.147102°
W 44.978027°		 ← 1 894.83 m → S 39.147102°
W 44.956055°		 →
↑
1 894.61 m
↓
↑
1 894.61 m
↓
S 39.164141°
W 44.978027°		 ← 1 894.37 m →
3 589 526 m²		 S 39.164141°
W 44.956055°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6145 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10131 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.375091552734375 y=0.618377685546875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.375091552734375 × 214)
    floor (0.375091552734375 × 16384)
    floor (6145.5)     		tx = 6145
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.618377685546875 × 214)
    floor (0.618377685546875 × 16384)
    floor (10131.5)     		ty = 10131
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 6145 / 10131 ti = "14/6145/10131"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/6145/10131.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6145 ÷ 214
    6145 ÷ 16384     		x = 0.37506103515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10131 ÷ 214
    10131 ÷ 16384     		y = 0.61834716796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.37506103515625 × 2 - 1) × π
    -0.2498779296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.78501467
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.61834716796875 × 2 - 1) × π
    -0.2366943359375 × 3.1415926535     		Φ = -0.743597186906311
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.78501467} λ = -0.78501467}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.743597186906311))-π/2
    2×atan(0.475400730761544)-π/2
    2×0.443775245972807-π/2
    0.887550491945614-1.57079632675     		φ = -0.68324583
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.78501467} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -44.978027°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.68324583 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -39.147102°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6145 KachelY 10131 -0.78501467 -0.68324583 -44.978027 -39.147102
    Oben rechts KachelX + 1 6146 KachelY 10131 -0.78463117 -0.68324583 -44.956055 -39.147102
    Unten links KachelX 6145 KachelY + 1 10132 -0.78501467 -0.68354321 -44.978027 -39.164141
    Unten rechts KachelX + 1 6146 KachelY + 1 10132 -0.78463117 -0.68354321 -44.956055 -39.164141
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.68324583--0.68354321) × R
    0.000297379999999903 × 6371000     		dl = 1894.60797999938m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.68324583--0.68354321) × R
    0.000297379999999903 × 6371000     		dr = 1894.60797999938m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.78501467--0.78463117) × cos(-0.68324583) × R
    0.000383499999999981 × 0.775527671052463 × 6371000     		do = 1894.83008483746m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.78501467--0.78463117) × cos(-0.68354321) × R
    0.000383499999999981 × 0.775339896732112 × 6371000     		du = 1894.3712998777m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.68324583)-sin(-0.68354321))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.775527671052463-0.775339896732112)×R²
    abs(-0.78463117--0.78501467)×0.000187774320350331×R²
    0.000383499999999981×0.000187774320350331×6371000²
    0.000383499999999981×0.000187774320350331×40589641000000     		ar = 3589525.61710635m²