Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 61448 / 40680
↖ ↑ ↗
← N 56.206704°
W 11.228028°		 ← 169.88 m → N 56.206704°
W 11.225281°		 →
↑
169.91 m
↓
↑
169.91 m
↓
N 56.205176°
W 11.228028°		 ← 169.88 m →
28 865 m²		 N 56.205176°
W 11.225281°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61448 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40680 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.468814849853516 y=0.310367584228516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.468814849853516 × 217)
    floor (0.468814849853516 × 131072)
    floor (61448.5)     		tx = 61448
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.310367584228516 × 217)
    floor (0.310367584228516 × 131072)
    floor (40680.5)     		ty = 40680
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61448 / 40680 ti = "17/61448/40680"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61448/40680.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61448 ÷ 217
    61448 ÷ 131072     		x = 0.46881103515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40680 ÷ 217
    40680 ÷ 131072     		y = 0.31036376953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.46881103515625 × 2 - 1) × π
    -0.0623779296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.19596605
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.31036376953125 × 2 - 1) × π
    0.3792724609375 × 3.1415926535     		Φ = 1.19151957695612
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.19596605} λ = -0.19596605}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.19151957695612))-π/2
    2×atan(3.29207997728462)-π/2
    2×1.27589418646632-π/2
    2.55178837293264-1.57079632675     		φ = 0.98099205
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.19596605} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -11.228028°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.98099205 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.206704°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61448 KachelY 40680 -0.19596605 0.98099205 -11.228028 56.206704
    Oben rechts KachelX + 1 61449 KachelY 40680 -0.19591811 0.98099205 -11.225281 56.206704
    Unten links KachelX 61448 KachelY + 1 40681 -0.19596605 0.98096538 -11.228028 56.205176
    Unten rechts KachelX + 1 61449 KachelY + 1 40681 -0.19591811 0.98096538 -11.225281 56.205176
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.98099205-0.98096538) × R
    2.66700000000064e-05 × 6371000     		dl = 169.914570000041m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.98099205-0.98096538) × R
    2.66700000000064e-05 × 6371000     		dr = 169.914570000041m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.19596605--0.19591811) × cos(0.98099205) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.556198377884438 × 6371000     		do = 169.877301152141m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.19596605--0.19591811) × cos(0.98096538) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.556220541778283 × 6371000     		du = 169.88407057582m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.98099205)-sin(0.98096538))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.556198377884438-0.556220541778283)×R²
    abs(-0.19591811--0.19596605)×2.21638938456836e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.21638938456836e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.21638938456836e-05×40589641000000     		ar = 28865.2036917445m²