Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 61446 / 34657
↖ ↑ ↗
← N 64.357742°
W 11.233521°		 ← 132.17 m → N 64.357742°
W 11.230774°		 →
↑
132.13 m
↓
↑
132.13 m
↓
N 64.356554°
W 11.233521°		 ← 132.18 m →
17 465 m²		 N 64.356554°
W 11.230774°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61446 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 34657 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.468799591064453 y=0.264415740966797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.468799591064453 × 217)
    floor (0.468799591064453 × 131072)
    floor (61446.5)     		tx = 61446
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.264415740966797 × 217)
    floor (0.264415740966797 × 131072)
    floor (34657.5)     		ty = 34657
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61446 / 34657 ti = "17/61446/34657"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61446/34657.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61446 ÷ 217
    61446 ÷ 131072     		x = 0.468795776367188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 34657 ÷ 217
    34657 ÷ 131072     		y = 0.264411926269531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.468795776367188 × 2 - 1) × π
    -0.062408447265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.19606192
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.264411926269531 × 2 - 1) × π
    0.471176147460938 × 3.1415926535     		Φ = 1.48024352336771
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.19606192} λ = -0.19606192}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.48024352336771))-π/2
    2×atan(4.39401559611455)-π/2
    2×1.34702541557065-π/2
    2.69405083114129-1.57079632675     		φ = 1.12325450
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.19606192} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -11.233521°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.12325450 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 64.357742°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61446 KachelY 34657 -0.19606192 1.12325450 -11.233521 64.357742
    Oben rechts KachelX + 1 61447 KachelY 34657 -0.19601398 1.12325450 -11.230774 64.357742
    Unten links KachelX 61446 KachelY + 1 34658 -0.19606192 1.12323376 -11.233521 64.356554
    Unten rechts KachelX + 1 61447 KachelY + 1 34658 -0.19601398 1.12323376 -11.230774 64.356554
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.12325450-1.12323376) × R
    2.07400000000746e-05 × 6371000     		dl = 132.134540000475m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.12325450-1.12323376) × R
    2.07400000000746e-05 × 6371000     		dr = 132.134540000475m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.19606192--0.19601398) × cos(1.12325450) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.432750767236711 × 6371000     		do = 132.17322331883m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.19606192--0.19601398) × cos(1.12323376) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.432769464535728 × 6371000     		du = 132.178933955218m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.12325450)-sin(1.12323376))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.432750767236711-0.432769464535728)×R²
    abs(-0.19601398--0.19606192)×1.86972990178225e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.86972990178225e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.86972990178225e-05×40589641000000     		ar = 17465.025350382m²