Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 61434 / 40446
↖ ↑ ↗
← N 56.562509°
W 11.266479°		 ← 168.26 m → N 56.562509°
W 11.263733°		 →
↑
168.26 m
↓
↑
168.26 m
↓
N 56.560996°
W 11.266479°		 ← 168.27 m →
28 312 m²		 N 56.560996°
W 11.263733°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61434 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40446 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.468708038330078 y=0.308582305908203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.468708038330078 × 217)
    floor (0.468708038330078 × 131072)
    floor (61434.5)     		tx = 61434
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.308582305908203 × 217)
    floor (0.308582305908203 × 131072)
    floor (40446.5)     		ty = 40446
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61434 / 40446 ti = "17/61434/40446"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61434/40446.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61434 ÷ 217
    61434 ÷ 131072     		x = 0.468704223632812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40446 ÷ 217
    40446 ÷ 131072     		y = 0.308578491210938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.468704223632812 × 2 - 1) × π
    -0.062591552734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.19663716
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.308578491210938 × 2 - 1) × π
    0.382843017578125 × 3.1415926535     		Φ = 1.20273681146721
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.19663716} λ = -0.19663716}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.20273681146721))-π/2
    2×atan(3.32921590221948)-π/2
    2×1.27899917524825-π/2
    2.55799835049649-1.57079632675     		φ = 0.98720202
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.19663716} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -11.266479°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.98720202 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.562509°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61434 KachelY 40446 -0.19663716 0.98720202 -11.266479 56.562509
    Oben rechts KachelX + 1 61435 KachelY 40446 -0.19658923 0.98720202 -11.263733 56.562509
    Unten links KachelX 61434 KachelY + 1 40447 -0.19663716 0.98717561 -11.266479 56.560996
    Unten rechts KachelX + 1 61435 KachelY + 1 40447 -0.19658923 0.98717561 -11.263733 56.560996
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.98720202-0.98717561) × R
    2.64100000000322e-05 × 6371000     		dl = 168.258110000205m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.98720202-0.98717561) × R
    2.64100000000322e-05 × 6371000     		dr = 168.258110000205m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.19663716--0.19658923) × cos(0.98720202) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.551026893736486 × 6371000     		do = 168.262690855973m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.19663716--0.19658923) × cos(0.98717561) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.551048932358791 × 6371000     		du = 168.269420614419m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.98720202)-sin(0.98717561))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.551026893736486-0.551048932358791)×R²
    abs(-0.19658923--0.19663716)×2.20386223050983e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.20386223050983e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.20386223050983e-05×40589641000000     		ar = 28312.1285169197m²