Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 61433 / 33849
↖ ↑ ↗
← N 65.301503°
W 11.269226°		 ← 127.62 m → N 65.301503°
W 11.266479°		 →
↑
127.67 m
↓
↑
127.67 m
↓
N 65.300355°
W 11.269226°		 ← 127.63 m →
16 294 m²		 N 65.300355°
W 11.266479°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61433 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 33849 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.468700408935547 y=0.258251190185547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.468700408935547 × 217)
    floor (0.468700408935547 × 131072)
    floor (61433.5)     		tx = 61433
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.258251190185547 × 217)
    floor (0.258251190185547 × 131072)
    floor (33849.5)     		ty = 33849
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61433 / 33849 ti = "17/61433/33849"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61433/33849.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61433 ÷ 217
    61433 ÷ 131072     		x = 0.468696594238281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 33849 ÷ 217
    33849 ÷ 131072     		y = 0.258247375488281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.468696594238281 × 2 - 1) × π
    -0.0626068115234375 × 3.1415926535     		Λ = -0.19668510
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.258247375488281 × 2 - 1) × π
    0.483505249023438 × 3.1415926535     		Φ = 1.51897653826072
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.19668510} λ = -0.19668510}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.51897653826072))-π/2
    2×atan(4.56754809141817)-π/2
    2×1.3552612760469-π/2
    2.7105225520938-1.57079632675     		φ = 1.13972623
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.19668510} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -11.269226°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.13972623 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 65.301503°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61433 KachelY 33849 -0.19668510 1.13972623 -11.269226 65.301503
    Oben rechts KachelX + 1 61434 KachelY 33849 -0.19663716 1.13972623 -11.266479 65.301503
    Unten links KachelX 61433 KachelY + 1 33850 -0.19668510 1.13970619 -11.269226 65.300355
    Unten rechts KachelX + 1 61434 KachelY + 1 33850 -0.19663716 1.13970619 -11.266479 65.300355
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.13972623-1.13970619) × R
    2.00399999998879e-05 × 6371000     		dl = 127.674839999286m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.13972623-1.13970619) × R
    2.00399999998879e-05 × 6371000     		dr = 127.674839999286m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.19668510--0.19663716) × cos(1.13972623) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.417843244898126 × 6371000     		do = 127.620082277001m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.19668510--0.19663716) × cos(1.13970619) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.417861451537731 × 6371000     		du = 127.625643053376m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.13972623)-sin(1.13970619))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.417843244898126-0.417861451537731)×R²
    abs(-0.19663716--0.19668510)×1.82066396053338e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.82066396053338e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.82066396053338e-05×40589641000000     		ar = 16294.2285716418m²