Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 61430 / 40458
↖ ↑ ↗
← N 56.544344°
W 11.277466°		 ← 168.38 m → N 56.544344°
W 11.274719°		 →
↑
168.32 m
↓
↑
168.32 m
↓
N 56.542830°
W 11.277466°		 ← 168.39 m →
28 342 m²		 N 56.542830°
W 11.274719°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61430 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40458 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.468677520751953 y=0.308673858642578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.468677520751953 × 217)
    floor (0.468677520751953 × 131072)
    floor (61430.5)     		tx = 61430
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.308673858642578 × 217)
    floor (0.308673858642578 × 131072)
    floor (40458.5)     		ty = 40458
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61430 / 40458 ti = "17/61430/40458"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61430/40458.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61430 ÷ 217
    61430 ÷ 131072     		x = 0.468673706054688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40458 ÷ 217
    40458 ÷ 131072     		y = 0.308670043945312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.468673706054688 × 2 - 1) × π
    -0.062652587890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.19682891
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.308670043945312 × 2 - 1) × π
    0.382659912109375 × 3.1415926535     		Φ = 1.20216156867177
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.19682891} λ = -0.19682891}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.20216156867177))-π/2
    2×atan(3.32730134547754)-π/2
    2×1.27884065008083-π/2
    2.55768130016165-1.57079632675     		φ = 0.98688497
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.19682891} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -11.277466°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.98688497 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.544344°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61430 KachelY 40458 -0.19682891 0.98688497 -11.277466 56.544344
    Oben rechts KachelX + 1 61431 KachelY 40458 -0.19678097 0.98688497 -11.274719 56.544344
    Unten links KachelX 61430 KachelY + 1 40459 -0.19682891 0.98685855 -11.277466 56.542830
    Unten rechts KachelX + 1 61431 KachelY + 1 40459 -0.19678097 0.98685855 -11.274719 56.542830
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.98688497-0.98685855) × R
    2.64199999999715e-05 × 6371000     		dl = 168.321819999818m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.98688497-0.98685855) × R
    2.64199999999715e-05 × 6371000     		dr = 168.321819999818m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.19682891--0.19678097) × cos(0.98688497) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.551291440294322 × 6371000     		do = 168.378596107546m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.19682891--0.19678097) × cos(0.98685855) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.551313482644501 × 6371000     		du = 168.385328408661m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.98688497)-sin(0.98685855))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.551291440294322-0.551313482644501)×R²
    abs(-0.19678097--0.19682891)×2.20423501787748e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.20423501787748e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.20423501787748e-05×40589641000000     		ar = 28342.3583440489m²