Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 61428 / 40483
↖ ↑ ↗
← N 56.506471°
W 11.282959°		 ← 168.51 m → N 56.506471°
W 11.280213°		 →
↑
168.51 m
↓
↑
168.51 m
↓
N 56.504955°
W 11.282959°		 ← 168.52 m →
28 397 m²		 N 56.504955°
W 11.280213°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61428 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40483 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.468662261962891 y=0.308864593505859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.468662261962891 × 217)
    floor (0.468662261962891 × 131072)
    floor (61428.5)     		tx = 61428
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.308864593505859 × 217)
    floor (0.308864593505859 × 131072)
    floor (40483.5)     		ty = 40483
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61428 / 40483 ti = "17/61428/40483"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61428/40483.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61428 ÷ 217
    61428 ÷ 131072     		x = 0.468658447265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40483 ÷ 217
    40483 ÷ 131072     		y = 0.308860778808594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.468658447265625 × 2 - 1) × π
    -0.06268310546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.19692478
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.308860778808594 × 2 - 1) × π
    0.382278442382812 × 3.1415926535     		Φ = 1.20096314618127
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.19692478} λ = -0.19692478}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.20096314618127))-π/2
    2×atan(3.32331622112073)-π/2
    2×1.27851014487433-π/2
    2.55702028974866-1.57079632675     		φ = 0.98622396
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.19692478} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -11.282959°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.98622396 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.506471°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61428 KachelY 40483 -0.19692478 0.98622396 -11.282959 56.506471
    Oben rechts KachelX + 1 61429 KachelY 40483 -0.19687685 0.98622396 -11.280213 56.506471
    Unten links KachelX 61428 KachelY + 1 40484 -0.19692478 0.98619751 -11.282959 56.504955
    Unten rechts KachelX + 1 61429 KachelY + 1 40484 -0.19687685 0.98619751 -11.280213 56.504955
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.98622396-0.98619751) × R
    2.64500000000112e-05 × 6371000     		dl = 168.512950000071m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.98622396-0.98619751) × R
    2.64500000000112e-05 × 6371000     		dr = 168.512950000071m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.19692478--0.19687685) × cos(0.98622396) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.551842808879279 × 6371000     		do = 168.511840360284m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.19692478--0.19687685) × cos(0.98619751) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.551864866614768 × 6371000     		du = 168.51857595517m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.98622396)-sin(0.98619751))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.551842808879279-0.551864866614768)×R²
    abs(-0.19687685--0.19692478)×2.20577354883567e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.20577354883567e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.20577354883567e-05×40589641000000     		ar = 28396.9948481769m²