Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 61422 / 76466
↖ ↑ ↗
← S 28.733947°
W 11.299439°		 ← 267.82 m → S 28.733947°
W 11.296692°		 →
↑
267.77 m
↓
↑
267.77 m
↓
S 28.736356°
W 11.299439°		 ← 267.81 m →
71 713 m²		 S 28.736356°
W 11.296692°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61422 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 76466 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.468616485595703 y=0.583393096923828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.468616485595703 × 217)
    floor (0.468616485595703 × 131072)
    floor (61422.5)     		tx = 61422
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.583393096923828 × 217)
    floor (0.583393096923828 × 131072)
    floor (76466.5)     		ty = 76466
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61422 / 76466 ti = "17/61422/76466"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61422/76466.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61422 ÷ 217
    61422 ÷ 131072     		x = 0.468612670898438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 76466 ÷ 217
    76466 ÷ 131072     		y = 0.583389282226562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.468612670898438 × 2 - 1) × π
    -0.062774658203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.19721241
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.583389282226562 × 2 - 1) × π
    -0.166778564453125 × 3.1415926535     		Φ = -0.523950312847214
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.19721241} λ = -0.19721241}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.523950312847214))-π/2
    2×atan(0.592176638447618)-π/2
    2×0.534647169329111-π/2
    1.06929433865822-1.57079632675     		φ = -0.50150199
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.19721241} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -11.299439°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.50150199 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -28.733947°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61422 KachelY 76466 -0.19721241 -0.50150199 -11.299439 -28.733947
    Oben rechts KachelX + 1 61423 KachelY 76466 -0.19716447 -0.50150199 -11.296692 -28.733947
    Unten links KachelX 61422 KachelY + 1 76467 -0.19721241 -0.50154402 -11.299439 -28.736356
    Unten rechts KachelX + 1 61423 KachelY + 1 76467 -0.19716447 -0.50154402 -11.296692 -28.736356
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.50150199--0.50154402) × R
    4.20300000000262e-05 × 6371000     		dl = 267.773130000167m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.50150199--0.50154402) × R
    4.20300000000262e-05 × 6371000     		dr = 267.773130000167m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.19721241--0.19716447) × cos(-0.50150199) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.876861479894879 × 6371000     		do = 267.816066374368m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.19721241--0.19716447) × cos(-0.50154402) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.876841273487157 × 6371000     		du = 267.809894817337m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.50150199)-sin(-0.50154402))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.876861479894879-0.876841273487157)×R²
    abs(-0.19716447--0.19721241)×2.02064077219344e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.02064077219344e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.02064077219344e-05×40589641000000     		ar = 71713.1200793021m²