Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 61421 / 76463
↖ ↑ ↗
← S 28.726722°
W 11.302185°		 ← 267.78 m → S 28.726722°
W 11.299439°		 →
↑
267.84 m
↓
↑
267.84 m
↓
S 28.729131°
W 11.302185°		 ← 267.77 m →
71 720 m²		 S 28.729131°
W 11.299439°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61421 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 76463 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.468608856201172 y=0.583370208740234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.468608856201172 × 217)
    floor (0.468608856201172 × 131072)
    floor (61421.5)     		tx = 61421
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.583370208740234 × 217)
    floor (0.583370208740234 × 131072)
    floor (76463.5)     		ty = 76463
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61421 / 76463 ti = "17/61421/76463"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61421/76463.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61421 ÷ 217
    61421 ÷ 131072     		x = 0.468605041503906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 76463 ÷ 217
    76463 ÷ 131072     		y = 0.583366394042969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.468605041503906 × 2 - 1) × π
    -0.0627899169921875 × 3.1415926535     		Λ = -0.19726034
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.583366394042969 × 2 - 1) × π
    -0.166732788085938 × 3.1415926535     		Φ = -0.523806502148354
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.19726034} λ = -0.19726034}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.523806502148354))-π/2
    2×atan(0.592261805907691)-π/2
    2×0.534710222539721-π/2
    1.06942044507944-1.57079632675     		φ = -0.50137588
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.19726034} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -11.302185°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.50137588 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -28.726722°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61421 KachelY 76463 -0.19726034 -0.50137588 -11.302185 -28.726722
    Oben rechts KachelX + 1 61422 KachelY 76463 -0.19721241 -0.50137588 -11.299439 -28.726722
    Unten links KachelX 61421 KachelY + 1 76464 -0.19726034 -0.50141792 -11.302185 -28.729131
    Unten rechts KachelX + 1 61422 KachelY + 1 76464 -0.19721241 -0.50141792 -11.299439 -28.729131
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.50137588--0.50141792) × R
    4.20399999999654e-05 × 6371000     		dl = 267.83683999978m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.50137588--0.50141792) × R
    4.20399999999654e-05 × 6371000     		dr = 267.83683999978m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.19726034--0.19721241) × cos(-0.50137588) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.876922099436588 × 6371000     		do = 267.778712435827m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.19726034--0.19721241) × cos(-0.50141792) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.876901892869998 × 6371000     		du = 267.772542117634m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.50137588)-sin(-0.50141792))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.876922099436588-0.876901892869998)×R²
    abs(-0.19721241--0.19726034)×2.02065665892981e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.02065665892981e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.02065665892981e-05×40589641000000     		ar = 71720.1778492723m²