Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 61421 / 40491
↖ ↑ ↗
← N 56.494343°
W 11.302185°		 ← 168.57 m → N 56.494343°
W 11.299439°		 →
↑
168.58 m
↓
↑
168.58 m
↓
N 56.492827°
W 11.302185°		 ← 168.57 m →
28 417 m²		 N 56.492827°
W 11.299439°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61421 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40491 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.468608856201172 y=0.308925628662109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.468608856201172 × 217)
    floor (0.468608856201172 × 131072)
    floor (61421.5)     		tx = 61421
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.308925628662109 × 217)
    floor (0.308925628662109 × 131072)
    floor (40491.5)     		ty = 40491
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61421 / 40491 ti = "17/61421/40491"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61421/40491.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61421 ÷ 217
    61421 ÷ 131072     		x = 0.468605041503906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40491 ÷ 217
    40491 ÷ 131072     		y = 0.308921813964844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.468605041503906 × 2 - 1) × π
    -0.0627899169921875 × 3.1415926535     		Λ = -0.19726034
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.308921813964844 × 2 - 1) × π
    0.382156372070312 × 3.1415926535     		Φ = 1.20057965098431
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.19726034} λ = -0.19726034}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.20057965098431))-π/2
    2×atan(3.32204198965839)-π/2
    2×1.27840431341991-π/2
    2.55680862683981-1.57079632675     		φ = 0.98601230
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.19726034} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -11.302185°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.98601230 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.494343°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61421 KachelY 40491 -0.19726034 0.98601230 -11.302185 56.494343
    Oben rechts KachelX + 1 61422 KachelY 40491 -0.19721241 0.98601230 -11.299439 56.494343
    Unten links KachelX 61421 KachelY + 1 40492 -0.19726034 0.98598584 -11.302185 56.492827
    Unten rechts KachelX + 1 61422 KachelY + 1 40492 -0.19721241 0.98598584 -11.299439 56.492827
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.98601230-0.98598584) × R
    2.64599999999504e-05 × 6371000     		dl = 168.576659999684m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.98601230-0.98598584) × R
    2.64599999999504e-05 × 6371000     		dr = 168.576659999684m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.19726034--0.19721241) × cos(0.98601230) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.552019309981794 × 6371000     		do = 168.565737095245m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.19726034--0.19721241) × cos(0.98598584) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.552041372965453 × 6371000     		du = 168.572474292723m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.98601230)-sin(0.98598584))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.552019309981794-0.552041372965453)×R²
    abs(-0.19721241--0.19726034)×2.20629836591435e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.20629836591435e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.20629836591435e-05×40589641000000     		ar = 28416.816818774m²