Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 61421 / 33925
↖ ↑ ↗
← N 65.214138°
W 11.302185°		 ← 128.02 m → N 65.214138°
W 11.299439°		 →
↑
128.06 m
↓
↑
128.06 m
↓
N 65.212986°
W 11.302185°		 ← 128.02 m →
16 394 m²		 N 65.212986°
W 11.299439°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61421 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 33925 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.468608856201172 y=0.258831024169922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.468608856201172 × 217)
    floor (0.468608856201172 × 131072)
    floor (61421.5)     		tx = 61421
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.258831024169922 × 217)
    floor (0.258831024169922 × 131072)
    floor (33925.5)     		ty = 33925
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61421 / 33925 ti = "17/61421/33925"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61421/33925.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61421 ÷ 217
    61421 ÷ 131072     		x = 0.468605041503906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 33925 ÷ 217
    33925 ÷ 131072     		y = 0.258827209472656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.468605041503906 × 2 - 1) × π
    -0.0627899169921875 × 3.1415926535     		Λ = -0.19726034
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.258827209472656 × 2 - 1) × π
    0.482345581054688 × 3.1415926535     		Φ = 1.5153333338896
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.19726034} λ = -0.19726034}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.5153333338896))-π/2
    2×atan(4.55093785585981)-π/2
    2×1.35449887111173-π/2
    2.70899774222347-1.57079632675     		φ = 1.13820142
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.19726034} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -11.302185°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.13820142 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 65.214138°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61421 KachelY 33925 -0.19726034 1.13820142 -11.302185 65.214138
    Oben rechts KachelX + 1 61422 KachelY 33925 -0.19721241 1.13820142 -11.299439 65.214138
    Unten links KachelX 61421 KachelY + 1 33926 -0.19726034 1.13818132 -11.302185 65.212986
    Unten rechts KachelX + 1 61422 KachelY + 1 33926 -0.19721241 1.13818132 -11.299439 65.212986
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.13820142-1.13818132) × R
    2.00999999999674e-05 × 6371000     		dl = 128.057099999792m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.13820142-1.13818132) × R
    2.00999999999674e-05 × 6371000     		dr = 128.057099999792m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.19726034--0.19721241) × cos(1.13820142) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.419228077674735 × 6371000     		do = 128.016336831759m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.19726034--0.19721241) × cos(1.13818132) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.419246325997138 × 6371000     		du = 128.021909176532m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.13820142)-sin(1.13818132))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.419228077674735-0.419246325997138)×R²
    abs(-0.19721241--0.19726034)×1.824832240227e-05×R²
    4.79300000000016e-05×1.824832240227e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×1.824832240227e-05×40589641000000     		ar = 16393.7576371193m²