Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 6142 / 10183
↖ ↑ ↗
← S 40.027614°
W 45.043945°		 ← 1 870.85 m → S 40.027614°
W 45.021973°		 →
↑
1 870.65 m
↓
↑
1 870.65 m
↓
S 40.044437°
W 45.043945°		 ← 1 870.39 m →
3 499 287 m²		 S 40.044437°
W 45.021973°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6142 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10183 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.374908447265625 y=0.621551513671875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.374908447265625 × 214)
    floor (0.374908447265625 × 16384)
    floor (6142.5)     		tx = 6142
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.621551513671875 × 214)
    floor (0.621551513671875 × 16384)
    floor (10183.5)     		ty = 10183
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 6142 / 10183 ti = "14/6142/10183"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/6142/10183.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6142 ÷ 214
    6142 ÷ 16384     		x = 0.3748779296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10183 ÷ 214
    10183 ÷ 16384     		y = 0.62152099609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3748779296875 × 2 - 1) × π
    -0.250244140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.78616515
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.62152099609375 × 2 - 1) × π
    -0.2430419921875 × 3.1415926535     		Φ = -0.763538937148254
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.78616515} λ = -0.78616515}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.763538937148254))-π/2
    2×atan(0.466014310011751)-π/2
    2×0.436091331579324-π/2
    0.872182663158648-1.57079632675     		φ = -0.69861366
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.78616515} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -45.043945°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.69861366 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -40.027614°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6142 KachelY 10183 -0.78616515 -0.69861366 -45.043945 -40.027614
    Oben rechts KachelX + 1 6143 KachelY 10183 -0.78578166 -0.69861366 -45.021973 -40.027614
    Unten links KachelX 6142 KachelY + 1 10184 -0.78616515 -0.69890728 -45.043945 -40.044437
    Unten rechts KachelX + 1 6143 KachelY + 1 10184 -0.78578166 -0.69890728 -45.021973 -40.044437
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.69861366--0.69890728) × R
    0.000293619999999994 × 6371000     		dl = 1870.65301999996m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.69861366--0.69890728) × R
    0.000293619999999994 × 6371000     		dr = 1870.65301999996m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.78616515--0.78578166) × cos(-0.69861366) × R
    0.000383489999999931 × 0.765734556757189 × 6371000     		do = 1870.85399428292m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.78616515--0.78578166) × cos(-0.69890728) × R
    0.000383489999999931 × 0.765545680070707 × 6371000     		du = 1870.39252796902m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.69861366)-sin(-0.69890728))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.765734556757189-0.765545680070707)×R²
    abs(-0.78578166--0.78616515)×0.000188876686482375×R²
    0.000383489999999931×0.000188876686482375×6371000²
    0.000383489999999931×0.000188876686482375×40589641000000     		ar = 3499287.07784684m²